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iNVERSION DE MATRICES

Posté par
vanessa16 24-06-09 à 13:50

Bonjour,
Je suis en Psi et je prépare mes oraux cpp.
Je suis tombée sur un exercice d'oral et je ne sais vraimenr pas comment démarrer. Voici l'énoncé:
Inverser la matrice M dont les coefficients mij valent 0 si i > j
et j − i + 1 sinon.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Camélia Correcteurre : iNVERSION DE MATRICES 24-06-09 à 14:09

Bonjour

C'est une matrice triangulaire, donc on devrait l'inverser facilement (en résolvant un système du type MX=Y). Ecris la matrice en dimension 3 et 4, ça devrait t'éclairer. Si tu n'y arrives pas, j'essayerai de faire les calculs.

Posté par
vanessa16re : iNVERSION DE MATRICES 24-06-09 à 15:13

Merci pour la piste,
en notant A la matrice et en résolvant les systèmes A*A^(-1)=I pour n=3 puis 4, je trouve bien une allure de matrice. J'aurais du avoir plus d'initiative face à l'exercice surtout que c'est un oral.
Pour l'ordre n, je suis tentée de faire une récurrence, ça va bien pour un calcul de déteminant, mais là je ne vois pas une fois de plus.
Svp, (re)aidez moi!

Posté par
Camélia Correcteurre : iNVERSION DE MATRICES 24-06-09 à 16:28

Non, il ne faut pas résoudre les systèmes AA^{-1}=I. La bonne méthode est de résoudre AX=Y qui est équivalent à X=A^{-1}Y

Alors:

\(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & ... & n\\ 0 & 1 & 2 & ...& n-1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1\end{array}\)\(x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\)=\(y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n\)

qui donne x_n=y_n, x_{n-1}=y_{n-1}-2y_n, x_{n-2}=y_{n-2}-2y_{n-1}+y_n
x_{n-3}=y_{n-3}-2y_{n-2}+y_{n-1}

et ça a l'air de se reproduire... Sans l'avoir vraiment vérifié, je dirais que dans M^{-1} il y a des 1 sur la diagonale, des -2 sur la diagonale au dessus, puis des 1, et ensuite que des 0...

Posté par
Camélia Correcteurre : iNVERSION DE MATRICES 24-06-09 à 17:01

Après reflexion... La réponse est juste. Voici une méthode élégante, mais ce n'est probablement ce que l'on attend à un simple oral...

On note J la matrice qui a des 1 au-dessus de la diagonale principale. Alors

M=I+2J+3J^2+...+nJ^{n-1} et J^n=0. Il est facile de vérifier que M^{-1}=(I-J)^2 (mais j'y ai pensé après avoir vu le résultat...)

Posté par
vanessa16re : iNVERSION DE MATRICES 24-06-09 à 22:32

Merci beaucoup!!!
Je pense juste que les 0 sont en dessous de la diagonale car il est dit "0 si i>j", j'aurai juste à adapter je pense.
Encore merci!


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