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isométrie infinitésimale de R ^n
Bonjour
L´exo est le suivant:
<x,y> =
x,y
||x|| = la norme associée
A
(R) alors <Ax,y> = <x,
y>
si B
(R) vérifie <x,y> = <x,By> alors B= I
Soit f: ->
une application de classe
t.q.
<f´(x)h,f´(x)k> = <h,k>
1) M.q. f est une isométrie infinitésimale ssi f´(x) est orthogonale
Dans la suite f désignera une isométrie infinitésimale!
2) Calculer ||f´(x)|| = ||f´(x)h||
M.q. pour tout (x,y)
x
on a
||f(x)-f(y)|| <= ||x-y||
3)M.q. pour tout a \in R^n il existe un voisinage ouvert de a tel que la restriction de f à
soit un
-difféo de
sur f(
)
M.q. f est une application ouverte cad que l´image par f d´un ouvert est un ouvert.
4)Montrer qu´il existe un voisinage ouvert de a contenu dans
tel que pour tout (x,y) \in V_a x V_a on ait ||f(x)-f(y)||=||x-y||
(Indication: Remarquer que est une isométrie infinitésimale )
5)On pose (x,y)=
Calculer la différentielle partielle
/
x de
pat rapport au sous-espace
x {0}
6)Calculer ensuite la différentielle partielle ^2 [/tex]
/
y
x
Calculer de même ^2[/tex]
/
y
x avec
=
En déduire que pour (x,y,h,k)
x
x
x
on a <f´(x)h,f´(y)k> =<h,k>
7) En déduire que f´ est constante et que nécessairement f est une isométrie affine cad une application de la forme f(x)= Ax + b où A est une matrice orthogonale!
1) est fait avec les indications de l´exo
2) fait avec le théorème des accroissements finis!
3) je suis bloqué ...
Merci d´avance pour votre aide
Bonsoir.
La première partie de la question 3) est une application directe du théorème d'inversion locale.
Ensuite, si on prend un ouvert de
, il faut montrer que
est un ouvert de
.
Soit donc .
Applique la première partie, et déduis en qu'il existe un voisinage de y inclus dans .
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