Bonjour tout le monde,
Voilà j'ai une question à laquelle je connais la réponse mais je ne comprends pas comment on obtient ce résultat. La voici :
J'ai fa l'endomorphisme de R^3 donné par
fa(x , y , z) = (4x+a y+7z , 6x+3y+3z,2x+4y+2z)
Il faut que je trouve les valeurs de a telles que l'application linéaire fa ne soit pas un isomorphisme.
Je sais que la réponse est a=17 mais je ne comprends pas comment obtenir ce résultat... Quelqu'un peut-il m'expliquer? Merci d'avance !
Salut
Tu peux écrire la matrice de fa dans la base canonique de IR3. fa est un isomorphisme si et seulement si la matrice est inversible, si et seulement si son déterminant est non nul.
Donc à toi de calculer ce déterminant, par exemple en trouvant la réduite de Gauss de la matrice.
Merci ! Je ne connaissais pas cette propriété de l'isomorphisme qui dit qu'une matrice est inversible si et seulement si f est un isomorphisme...
Je calcule donc le déterminant de cette matrice qui me donne :
det M = -6a + 102
Et il me suffit de résoudre l'équation det M =0 (puisque une matrice est inversible si et seulement si le déterminant de celle ci est différent de 0) pour obtenir la valeur de a, ce qui fait bien 17 !
Merci !
L'exercice se poursuit et je bloque encore ...
On suppose Pb le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs :
v1=(1,5,6) et v2=(b-5,5b-3,7b-27)
Il faut que je trouve pour quelles valeurs de b, l'image de Pb par fa est contenue dans une droite.
J'ai donc calculé les images de v1 et v2 par fa que j'obtiens en fonction de b. Pour qu'ils soient contenus dans une droite faut-ils qu'ils soient colinéaires?
IL faut donc que je résoude un système du genre :
131x +(138b-260)y=0
39x+(49b-120)y=0
34x+(36b-76)y=0
Le problème c'est que je trouve des valeurs pour x et y... Je suis un peu perdue ...
Tu as trois équations et deux inconnues, en ne prenant par exemple que les deux premières équations, tu vas obtenir une expression de x et une expression de y en fonction de b. Il va ensuite falloir ajuster la valeur de b pour que la troisième équation soit vérifiée.
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