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isomorphisme d'espace vectoriel

Posté par
audes
30-10-08 à 20:42

donc voilà, j'ai un énnoncé, où il faut montrer qu'il y a un isomorphisme. Mais le problème c'est que j'ai déjà du mal a comprendre l'énoncé.
Enoncé: Une suite sera notée u : soit (Un)ncN le terme d'ordre n est noté Un.
Soit (a0, a1, ...., ap-1)compris dans C^p C ensemble des complexes tel que a0=/= 0
E=C^N avec C les complexes et N les entiers naturels.
Soit F un ss-ev de E constitué des suite (Un)ncN telles que:
VncN, Un+p=a(p-1)U(n+p-1)+ ... + a1Un+1 + a0Un
1) Soit H: F--> C^p
           (Un)ncN--->(U0, U1, ..., Up-1)
montrer que H est un isomorphisme d'ev.

Donc pour le moment j'ai eu quelques pistes:
pour montrer que H est un isomorphisme d'ev il faut montrer que H est une application linéaire et qu'elle est bijective.
Mnt j'ai un pb .
Je n'arrive pas bien à voir ce qu'est H(Un)
J'ai dit que H(Un) = b0U0 + b1U1+ .... + b(p-1)U(p-1)
et apres on peut montrer que c'est une application linéaire . MAis je suis un peu bloquée.

Merci d'avance

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 30-10-08 à 20:48

Bonsoir,

tu devrais, quesstion de lisibilité, aller faire un petit tour du côté de la syntaxe  \LaTeX pour écrire des formules mathématiques.

on peut réussir à faire très facilement  \mathbb{C} ou  u \in \mathbb{C}^p ou encore  H : F \rightarrow E

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 30-10-08 à 20:51

Il vaut mieux noter tes suites  u = (u_n)_{n \in \N} pour éviter les problèmes.

Pour montrer la linéarité, comment procédes-tu ?

Pour montrer qu'une application linéaire est injective, il y a une méthode très rapide...

Pour montrer qu'elle est surjective, c'est encore plus facile (dans le cadre de l'exemple de ton exercice).

Posté par
audes
re : isomorphisme d'espace vectoriel 30-10-08 à 21:25

Bonsoir

Merci de m'avoir répondu aussi rapidement.

pour la linearité on avait vu en sup:
V (A,B) \in\ R il faut que
F(A+B)=F(A) + F(B)
F(A)= F(A)
si ces deux conditions sont respectées alors F est linéaire
et pour l'injectivité il faut montrer que Ker(F)={O}
et après il faudrait montrer que dim(E)=dim(F) pour montrer que c'est surjectif il faut que dim(F)=dim(^p)

si je ne me trompe pas

Merce pour vos conseils!
cordialement AK

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 30-10-08 à 22:11

Oui, oui (on peut se tutoyer ?), tu connais très bien les outils à mettre en oeuvre. Tu ne devrais pas trouver de problème à la résolution de l'exercice.

L'exercice consiste à montrer que l'ensemble des suites définies par une récurrence d'ordre p (fixée) est un espace vectoriel de dimension p. Il y a un point délicat, l'espace vectoriels des suites  E = \mathbb{C}^\mathbb{N} est un espace de dimension infini. Mais on s'en débarasse rapidement. Plus formellement les suites récurrentes d'ordre p est :
 F = \{ u \in E; \forall p \geq p u_{n+p} = a_{p-1} u_{n+p-1} + \ldots + a_0 u_{u_n} \}
où on a fixé les a_i et on prend garde que a_0 \not= 0 pour que ce soit pas une récurrence d'ordre p-1.

On demande de motrer que fixer les p premières valeurs de la suite détermine toute la suite.


Est-ce que ces indications sont suffisantes ? Sinon, dis-moi précisément le point qui bloque ?

Posté par
audes
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 18:05

Merci beaucoup je crois que j'ai compris.
En montrant que F est de dim p puisque les suites sont d'ordre p. et c'est pour cette raison que 00

Mnt j'ai une question un peu plus précise.
Est-ce qu'on peut écrire:

(Un)=0U0+ ... + p-1Up-1
parce que pour montrer que c'est linéaire je sais pas trop quoi prendre comme fonction parce que j'ai du mal à mettre sous forme de fonction cette application:

:Fp
               (Un)n(U0, U1, .... , Up-1)


Voilà
Merci pour tes indications.
AK

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 18:27

Je ne sais pas si tu as compris...

Considérons un exemple simple, p=1 avec  a_0 = \lambda . Les suites qui vérifient :
 u_{n+1} = \lambda u_n
sont exactement les suites géométriques de raison  \lambda . Une telle suite est entièrement determinée par son premier terme car on a la relation :
 u_n = \lambda^n u_0

Maintenant,
 \begin{array}{clcl}
 \\  \varphi : & F & \rightarrow & \mathbb{C}^p \\ & u & \mapsto & u_0
 \\ \end{array}
est bien linéaire, car par définition :
 (\alpha u+ \beta v)_n := \alpha u_n + \beta v_n
et en particulier :
 \varphi(\alpha u + \beta v) = (\alpha u+ \beta v)_0 = \alpha u_0 + \beta v_0 = \alpha \varphi(u) + \beta \varphi(v)

Posté par
audes
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 18:43

oki

je vois mieux . Merci

Je vais pouvoir continuer mon dm maintenant.

Merci

Posté par
audes
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 20:07

Mnt j'ai un autre petit soucis :s ...
on pose B=-1(BC) où BC est la base canonique de p
et faut donner une description des suites e(1),..., e(p)
de B

dans ca cas la base canonique c'est:
(1,0, ... ,0)
(0,1, ...,0)
...

...
(0, ... ,0,1)
et e(1) c'est le vecteur ligne 1 de la matrice dans la base B
...
e(p) c'est le vecteur ligne p de la matrice dans la base B

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 20:09

Je ne suis pas d'accord avec toi,  e^{(1)} est une suite (car un élément de F).

Qui est la base B ?

Posté par
audes
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 20:19

euh...

e1 c'est une suite. on peut donc l'exprimée à l'aide de -1
pour trouver e1 on applique -1
au premier vecteur de la base canonique de p

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 20:21

Que veut dire exprimer  e^1 à l'aide de  \varphi^{-1} ?

Essaye de résoudre ce problème sur l'exemple que je t'ai donné.

Posté par
audes
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 20:39

si

(Un)=U0
alors Un=-1(U0)

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 20:45

Ce n'est pas vraiment une expression... en plus elle est fausse :
 \varphi(u) = u_0 .

Pourquoi  \varphi^{-1} est-elle bien définie ?

L'exrcice est : calculer explicitement les termes de la suite  \varphi^{-1}(v) lorsque v est un élément de la base canonique.

Posté par
audes
re : isomorphisme d'espace vectoriel 31-10-08 à 22:13

-1 est bien définie parce qu'on a montreé pécedement que c'est un isomorphisme cad une applicatio linéaire bijective. et donc -1 existe.

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 01-11-08 à 09:24

D'accord avec toi.

Mais  \varphi^{-1}(e^{(1)}) n'est pas vraiment une description de suite, comme tu le demandais.

Une descritpion de suite est
u_0 vaut ça
u_1 vaut ça
u_2 vaut ça
etc

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 13:19

Bonjour,ayant le même genre de problème et étant coincé,je me permet de répondre à ce topic en réutilisant les notations déjà utilisées.

Voilà les différentes questions que je me pose:

Si l'on prend le premier vecteur canonique : (1,0, ... ,0)

doit on lui appliquer -1 pour obtenir e(1)?

Et si oui on obtien  e(1) = U0 qui est une constante?

Merci à vous de m'éclairer sur ces différents point.

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 14:22

Une suite constante n'est que rarement dans  F !  e^{(1)} n'est pas du tout la suite constante égale à  u_0 .

On prend bien le premier vecteur canonique  (1,0,\ldots) et on lui applique  \varphi^{-1} pour obtenir  e^{(1)} . Ce qu'on obtient c'est la suite de F telle que :
 u_0 = 1 \quad u_1 = 0 \quad \ldots \quad u_{p-1} = 0

Il n'y en a qu'une car on peut montrer que  \varphi est injective. Cependant, pour répondre à l'exercice, il faut décrire tous les autres termes de la suite à partir de la relation de récurrennce.

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 14:55

Por décrire tous les autre termes de la suite avec la relation de récurrence,il faut fixer n=0 et faire varier p?

Si c'est le cas U1=0U0?

Mais ca serait impossible vu que U1=0 et que 00.

Je crois comprendre le but de l'exercice,mais je ne comprends pas vraiment comment utiliser cette recurrence,quoi que je fasse je tombe sur des égalités impossible.

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 15:14

p est fixé au début de l'énoncé ! Ce n'est pas une variable.

Je ne crois pas que tu comprends le but de l'exercice si tu me dis que p est une variable. Prends p=1 pour le moment, c'est-à-dire que :

1) la relation de récurrence est de la forme :
 u_{n+1} = \alpha u_n
avec  \alpha non nul.

2) L'espace  F est de dimension 1, il n'y a que la suite telle que :  u_0 = 1 qu'il faut expliciter.

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 15:40

On se trouve dans le cas d'une suite géométrique de raison a.

On a donc une suite u tel que :

u=1+a+a^2+...+a^n


Donc pour p fixé on aurait une suite v tel que

v=1+0+(p-1*0)+((p-1*p-1*0)+p-2*0)....

ou plus clairement  
v=v0+vp+vp+1....

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 15:49

Je suis d'accord avec ta première phrase.

Je ne comprends pas la suite : c'est quoi ces + ?

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 15:55

Je pensais qu'il fallait calculer pour p fixé ,et grâce à la récurrence tous les termes a partir du p-ième (tous les autres étant connus), et les additionner  pour obtenir la suite e(1)

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 15:59

(Désolé pour le multi post)

En me relisant j'ais compris l'erreur grossière que j'ais commise

On a u=U0* a^n

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 16:09

Maintenant je suis d'accord avec toi.

Il n'y a qu'une seule suite géométrique de raison  \alpha dont le premier terme est  u_0 = 1 , il s'agit de la suite  u définie par :

 \forall n \geq 0,\ u_n = \alpha^n


Après ces quelques remarques faciles sur le cas  p = 1 il s'agit de généraliser à p quelconque.

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 16:30

il faut donc que je trouve un lien entre vp,vp+1,vp+2...?

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 17:13

Non pas vraiement un lien entre.

Mais lorsque tu as montré que  \varphi était injectif tu as aussi montré que  u_p, u_{p+1}, u_{p+2}, \ldots ne dépendent que des p premiers termes de la suite  u_0, u_1, \ldots, u_{p-1} . Il existe donc des formules pour ces termes là. Il faut les expliciter dans le cas où  u = e^{(i)} = \varphi^{-1}((0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0) c'est-à-dire :
 u_i = 1 \quad \text{et} \quad u_j = 0 \ \forall j \in \{0,1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,p-1\}

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 17:51

Donc il faut que j'explicite tous les up+n.
Par exemple pour e(1) on aurait :

up=0*U0
up+1=p-1*up=p-1*0*U0

Et faire la même chose pour  e(2) ...

La seule difficulté serait donc de trouver comment s'ecrirait up+n pour les e(i)?

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 18:00

Oui, c'est exactement ça !

Si tu continue à expliciter les termes de  e^{(1)} tu devrais voir apparaîtres des relations relativement simple entre  n et  u_n .

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 19:06

Malheuresement les relations que je vois apparaître pour e(1) ne sont pas simples:

J'obtiens cela : un=U0*(0*(p-1n-p+....+n-p)

Les "...." symbolisant des expressions que je n'arrive pas à expliciter pour up+n

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 19:33

En effet, tu as raison, c'est pas joli joli ! J'ai l'impression qu'on ne peut pas trouver de relation pour tout n, je suis aller un peu vite tout à l'heure.


Par contre, il existe une base sympathique pour  F . Au lieu de prendre  \varphi^{-1} de la base canonique, il vaut mieux regarder une autre base.

On s'intéresse au polynôme :
 P(X) = X^p - \alpha_{p-1} X^{p-1} - \ldots - \alpha_1 X - \alpha_0

Supposons que  a est une racine de  P(X) alors on peut exprimer très simplement  \varphi^{-1} ((1,a,a^2,\ldots,a^{p-1})) .

Si le polynôme admet p racines distinctes, on trouve une jolie base de  F , sinon c'est un peu plus délicat.

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 19:43

Mais par la suite j'ais une autre application,et dois montrer que F est stable par celle ci dans le but de trouver sa matrice et de calculer son polynome caracteristique.Je pensais qu'il fallait utiliser la base en rapport avec -1(BC) pour trouver une matrice simple(avec des coefficient sur la diagonale).Mais en effectuant un changement de base même si le polynome caracteristique reste le même la matrice obtenu ne sera elle pas plus compliqué?

Et vu que les e(i) sont des suite, comment pourrais je en tirer une base?

J'avoue me perdre un peu.

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 19:55

Les  e^{(i)} forment une base de F. Ce n'est pas la peine d'en "tirer une base"...

Lorsque tu travailles sur F, il suffit de travailler sur les p premiers éléments de tes suites (c'est ce que tu viens de montrer). La base  \varphi^{-1}(BC) est la façon la plus simple de le faire. Les suites associées aux  e^{(i)} ne sont pas forcément simples, mais les p premiers éléments le sont.

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 19:59

Donc ma matrice sera une matrice avec des 1 partout sur la diagonale?

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:03

ça dépend de ton application !

Si ton application est :

 u = (u_n)_n \mapsto 2u = (2*u_n)_n

sa matrice ne peut pas avoir seulement des 1 sur la diagonale.

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:03

Quelle est l'application en question ?

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:11

C'ets l'application f: FF
                             uw


avec w=un+1

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:15

OK...

As-tu montré que F était bien stable ?

Il suffit de calculer les  f(e^{(i)} .

En tout cas, il n'y a pas de 1 sur la diagonale... sinon ça voudrait dire que  f(e) = e , ce qui est loin d'être le cas !

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:29

On a f(e(i))=e(i+1)


On a donc f(F) F


Il me faut donc une matrice qui me decale les valeurs de la matrice de u

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:33

Attention ta formule est bonne que pour i=0,..,p-2 !

Une matrice est facile à écrire : on écrit dans la ième colonne l'image du ième vecteur... (dans la base  \varphi^{-1}(BC) ).

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:47

C'est vrai j'ais donc facilement les  p-1 premiere colonne de ma matrice.Le seul probleme vient de vp-1.

Mais si vp-1=up

J'ais le droit de dire que j'ais un 0 au niveau de ma premiere ligne et de mon avant derniere colonne de ma matrice , ou est-ce incorrect?

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 20:48

Pardon je voulais dire au niveau de ma première ligne et de ma dernière colonne.

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 21:29

Pourquoi la première ligne ?

Ecris moi tes p-1 premières colonnes...

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 21:30

Et que vaut  f(e^{(p)}) ?

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 21:48

Pour moi les p-1 premières colonnes sont:

000.....
100.....
010.....
001.....
    .
    .
000....1


et f(e(p))=0*e(1)

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 22:03

Je suis d'accord avec tes p-1 premières colonnes...

Par contre je trouve  f(e^{(p)}) = \frac{1}{\alpha_0} e^{(1)} .

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 22:19

Je ne comprends pas comment vous avez trouvé cela?
pour moi on a vp-1=up


d'ou le f(e(p))=0*e(1)

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 22:26

La suite  f(e^{(p)}) est telle que :

 u_p = 1 \ u_{p-1} = 0 \ \ldots \ u_1 = 0

Il s'agit donc de déterminer  u_0 pour l'exprimer dans la base  \varphi^{-1}(BC) . Et ce  u_0 est tel que :

 1 = u_p = \alpha_0 u_0

d'où  f(e^{(p)}) = 1 / \alpha_0 e^{(1)}

Posté par
Guillau
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 22:31

Ah merci bien j'ais compris mon erreur. En tout cas je vous remerci d'avoir pris autant de temps pour m'expliquer.Bonne soirée.

Posté par
tringlarido
re : isomorphisme d'espace vectoriel 02-11-08 à 22:39

Je suis content que tu aies compris. Au plaisir.

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