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isomorphisme entre 2 groupes
Bonjour,je rencontre quelque problème avec l'exercice suivant.
1)soit G un groupe dont tous les éléments, distincts de l'élément neutre,sont d'ordre 2.Montrer qu'il est commutatif.
2)montrer que si G est fini son cardinal est une puissance de 2.
c'est la question 2 que je n'arrive pas.Il faut raisonner par récurrence sur l'ordre de G, mais je n'y arrive pas,en faite je n'arrive pas a formuler la proposition de la récurrence
Hello,
pour la 2) une première piste de réflexion : Si G vérifie l'hypothèse, le groupe quotient G/<g> aussi quel que soit g dans G (différent du neutre).
mais que dit la récurrence?est ce que l'hypotése de récurrence est la suivante :"tout groupe fini,constitué uniquement de n-1 éléments d'ordre 2, a pour cardinal 2^(n-1)"
P(n) ::
le cardinal de tout groupe d'ordre 
n commutatif et dont tout élément est d'ordre 2 est une puisssance de 2
et tu montres P(n+1) ....
pouvez vous me dire si ma solution est exacte
On note P(n) la proposition définie par Mr Carpediem
alors P(1) est vraie,tout groupe d'ordre 1 est commutatif et ne possède aucun élément d'ordre 2(réduit à l'élément neutre).
on suppose P(n) vraie.Soit G un groupe d'ordre n+1 commutatif possédant n+1 éléments d'ordre 2.
Soit g un élément d'ordre 2,alors <g> est un sous groupe de G et il est distingué dans G car G est abélien.
Ainsi G/<g> est un groupe muni de la meme loi que sur G,card(G/<g>)=
card(G)/2 < card(G)=n+1.Donc card(G)<=n donc on peut appliquer l'hypothése de récurrence,ainsi card(G)/2 est une puissance de 2.
D'aprés Lagrange card(G)=Card<g> card(G)/2 = 2x(une puissance de 2)=une puissance de 2 cqfd
oui voila .....
ce n'est pas " soit g un .... d'ordre"
c'est
pour tout g, g est d'ordre 2 donc <g> est commutatif et ....
et la suite convient
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