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Justifiez l encadrement...
[u][/u]Bonjour 
J'ai (encore) besoin de votre aide...
Voilà l'exo:
On considère la fonction f, définie sur D=[1, +[, par f(t)= et/t.
1)a. Justifiez la continuité de f sur D. ==>fait.
b. Montrez que f est croissante sur D. ==>fait.
2) Pour tout réel x0 de D, on note A(x0) l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=xo.
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur D est une primitive de f.
a. Que vaut A(1) ==> fait (je trouve zéro)
b.Soit x0 un réel quelconque de D, et h 
+*. Justifiez l'encadrement suivant:
f(x0)
(A(x0+h) - A(x0))/hf(x0+h)
(Ca ressemble à un taux de variation...mais je n'arrive pas à démarrer...
Je mets la suite, tant qu'à faire...
)
c. Lorsque x0>1, quel encadrement peut-on obtenir pour h<0 et tel que x0+h
1
d.En déduire la dérivabilité de x0 de la fonction A, ainsi que le nombre dérivé de x0 de la fonction A.
e.Conclure.
NB: Normalement, un graphique représentant la fonction f (sur [0; 2,...] en abscisses et [0; 4,...] en ordonnées) est fourni, mais il est supérieur à 30Ko pour que je puisse l'insérer ici...
Mais bon, je pense (j'espère)qu'il n'est pas très important...
Si vous pouviez détailler les calculs ce serait sympa...c'est que, je comprends vite, mais il fait m'expliquer longtemps comme on dit...
Merci d'avance pour votre aide !!
Bonjour Dana!
Pour la (2a) l'idée est de comparer l'aire entre la courbe et entre les droites x=x0 et x=x0+h avec l'aire des deux rectangles de longueur h et de hauteur f(x0) ou f(x0+h). Je te passe deux liens où le problème est le même mais la fonction à intégrer est différente. Tu peux jeter un coup d'oeil à l'image et aux explications, ça te donnera des idées.
topic 35630
topic 36444
Isis
Merci Isis, ça m'avance dans la compréhension, c'est sûr...
Mais, je ne vois toujours pas comment rédiger la justification de cette relation...
De quoi fait-il partir??
salut
car la courbe de la fonction f est au dessus de l'axes des abscisses sur D et
et on a de meme :
donc
or la fonction f est croissante sur (car cet intervalle est inclus dans D et que f est croissante sur D ).
donc
par passage aux integrales :
et :
en divisant par h qui est strictement positif on a :
oups je n'avais pas vu la reponse d'Isis.
pour la question suivante , c'est le meme raisonnement en faisant attention qu'a la fin en divisant par h , h est strictement negatif.
la derniere question est juste une application du thoereme des gendarmes.
La justification est très simple et de nature géométrique. Aide-toi de ton graphique. Fixe-toi un x0 et un x0+h. Dessine ensuite deux droites verticales passant par ces deux points. Trace ensuite les deux droites horizontales passant par et
. Ensuite tu n'as qu'à comparer l'aire des deux rectangles avec celle sous la courbe entre x0 et x0+h. Tu obtiendras
avec B l'aire du rectangle inclus dans la surface sous la courbe et D l'aire du rectangle qui contient la surface sous la courbe. C est clairement l'aire de la surface sous la courbe.
Tu comprends mieux?
Isis
Ops, je n'ai pas vu non plus l'intervention de minotaure. Mais bon, deux réponses valent mieux qu'une.
Isis
Merci à vous deux, ça m'aide énormément...!!
Et puis, c'est vrai, deux réponses valent mieux qu'une, d'autant plus que les votres se complètent 
[Je vais pouvoir tout reprendre lentement, et du début, de manière à ce que ce soit clair dans ma tête.]
Merci encore...
Je fais la curieuse et j'ai une petite question à minotaure:
Tu t'es mis à LaTeX dernièrement?
Il me semblait t'avoir lu dire une fois que LaTeX et toi ça faisait 2... En tout cas bravo, car tes formules sont belles en plus d'être précises et complètes comme d'habitude.
Isis
Dana, j'espère que tu as vu que je me suis trompée avec les parenthèses dans mon message de 14:01. J'ai mis au lieu de
.
Bon courage, Isis.
maintenant que je suis correcteur officiel, et que dans la F.A.Q. il est conseille d'ecrire en latex, je dois en quelque sorte montrer l'exemple.
le latex et moi font toujours 2 (et pour longtemps) heureusement la touche apercu est la.
je te remercie pour tes encouragements Isis et je vais essayer de progresser dans la maitrise du latex.
Oui j'avais remarqué Isis, de même que pour le au lieu de 
de Minotaure mais merci de l'avoir signalé
(Pareil, heureusement qu'il y a la touche aperçu... )
> > Minotaure:
Je suis ravie de voir que tu te donnes de la peine pour apprendre LaTeX. Je crois aussi que tu apprends drôlement vite car tu es passé en très peu de temps du "jamais LaTeX" à des grosses formules compliquées. Tu verras, une fois qu'on connaît les commandes de base ça va tout seul.
Isis
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