salut

une idée?

Salut

Si et seulement si Im f inter Ker f est réduit au vecteur nul.

Sauf erreur bête de ma part.

Ok j'essaie de démontrer pour m'entrainer que si Im f inter Ker f est réduit au vecteur nul alors Ker(u²) = Ker(u):

On montre facilement que Ker u dans Ker u².Il reste à montrer la réciproque.
Soit y ker u². soit x=u(y) alors si x 0 ,u(x)0 car x n'appartient pas à ker u donc yKer u².
Si x=0 alors y ker u. D'où le résultat.

Est ce correct ? (je débute en algèbre linéaire ).
Merci !

T'es pas en train de prouver l'autre inclusion... d'ailleurs je sais même pas ce que tu prouves...

Alors comment fait-on ?

Tu prends x dans ker(u²). Alors u(u(x))=0 et u(x) est dans Im(u) inter ker(u) donc u(x)=0 et x est dans ker(u).

d'accord merci

Je relance ce sujet, j'ai la même question, je ne vois pas comment on prouve que si Im f ker f = {0} alors ker {f} = ker {fof}

J'ai pas bien compris ce qu'a écris  1 Schumi 1.

Si ker f Im f = {0}, ça signifie que  Im f contient le vecteur nul... Je ne comprends pas... Par quoi doit-on débuter ? Merci

Pour démontrer que Ker(f)=Ker(f²), il faut démontrer que Ker(f) est inclus dans Ker(f²) et que Ker(f²) est inclus dans Ker(f)

Ker(f) inclus dans Ker(f²) >>

Soit x un élement de Ker(f), on a f(x)=0
En composant par f, on a f(f(x))=f(0)=0 donc x appartient à Ker(f²)

Donc Ker(f) est inclus dans Ker(f²)

Ker(f²) inclus dans Ker(f) >>

Soit x un élement de Ker(f²), on a f(f(x))=0 donc f(x) appartient à Ker(f) et f(x) appartient à Im(f) donc d'après la supposition, f(x)=0 donc x est dans Ker(f)

Donc Ker(f²) est inclus dans Ker(f)

Ker(f)=Ker(f²)

Skops

Merci ! C'est beaucoup plus clair là ! C'est toujours plus simple quand on a la réponse ! Ca m'avait l'air d'un compliqué !

Entraine toi ^^
Il y a souvent une inclusion simple et l'autre où il faut réfléchir un peu

Skops

Oui, j'en ai une autre similaire, je l'envoie ici ou dans un autre topic ?

Je vais changer de topic, c'est plus ker mais Im, donc je vais m'entraîner

Merci @+++