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Ker et endomorphismes
Bonjour,
Je bute sur un exercice que j'ai déjà fait il y a un an, sur de l'algèbre linéaire. Ca remonte un peu donc j'ai du mal à me dérouiller. Et le pire, c'est que j'avais trouvé ça très très simple à l'époque.
Voilà la question :
Soit E un espace vectoriel sur |R, u et v deux endomorphismes de E.
- Montrer que Ker u est inclus dans Ker(u o v).
Rien de plus simple à priori, on prend un élément de Ker u et on montre qu'il est aussi nécessairement dans Ker (u o v). Mais je bloque sur une étape intermédiaire... une subtilité que j'ai dû oublier. Quelqu'un saurait me dépanner ?
Merci d'avance.
Salut 
Soit x € Ker u ie u(x)=0
uov(x) = u(v(x)) = ??
Donc à mon avis tu dois montrer que Ker u est inclus dans Ker(vou)
Sauf erreur
Bonjour, Anna216
Il est faux que . C'est pour cela que tu n'arrivais pas à le démontrer.
Par contre, il est exact que
Pour montrer que le premier résultat est faux, prendre
Si B est la base (e1,e2), on a:
u(e1)=0 uov(e1)=u(e2)=e1
e1 est dans le noyau de u dans être dans le noyau de v
Yeap, je me suis plantée là en écrivant.
Mais pas en cherchant à résoudre, donc... je bute toujours. x)
Désolée.
Bonjour perroquet
Oui c'est plus juste Anna 
Soit . Montrons que
On a donc
Puisque v est un endomorphisme, l'image du vecteur nul est ..
Bon ! Merci x)
Ca me rassure, je n'étais pas complètement à côté de la plaque.
J'avais effectivement pensé en premier lieu au fait que l'image du vecteur nul par v qui est un endomorphisme était nulle. Mais sans en être persuadée... du coup, je feuilletais des bouquins, et je n'arrivais pas à remettre la main sur une définition qui confirmait bien que l'image du vecteur nul était nulle.
Et du coup j'ai douté. Je n'aurais pas dû. Merci :p
A priori c'est très normal que tu n'y arrives pas parce que c'est faux.
Ce ne serait pas plutôt kerv?
Pourquoi ce ne pouvait pas être ça?
Concrètement,quand on applique un endomorphisme à un ev, l'image de cet endomorphisme est plus petite que l'ensemble de départ ( c'est une conséquence de la formule du rang). Si tu composes plusieurs endomorphismes, alors à chaque étape, la taille de l'image diminue de + en +( ou reste constante si tu appliques des endomorphismes surjectifs). Donc tjs d'après la formule du rang, la taille des noyaux augmente ( sauf si u est injectif) . D'ou ker(uov) est tjs plus grand que ker v. Mais je ne peut tjs rien dire pour ker u car la composition se fait avec v en premier et u en deuxième donc on arrive dans l'image de v puis on applique u. Donc à priori aucun lien entre le ker(u) et le ker(uov)....
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