Bonsoir.

D'accord pour Ker(A)

Pour Im(A), je trouve plutôt 3x - y - z = 0

L'équation de Ker(A) est formée par deux équations d'hyperplans indépendants dans IR⁴ , donc :

dim(Ker(A)) = 4 - 2 = 2

L'équation de Im(A) est formée par l'équation d'un hyperplan de IR³ , donc :

dim(Im(A)) = 3 - 1 = 2

a oui autant pour moi je me suis trompée dans le signe

merci en tout cas

et autre question:

On a :

On me demande la meme chose (ker(A), Im(A), dimension etc..)

Mais la matrice me semble un peu lourde non? il y a une astuce ou il faut faire comme d'habitude?

En principe : nouvelle question nouveau topic.

Mais je ne veux pas te faire retaper cette matrice A.

Oui elle est importante : 55, mais elle est très creuse : de nombreux zéros.

De plus, quatre vecteurs colonnes sont égaux, donc, cette matrice est visiblement de rang 2.

Une base de l'image est ( u(0,0,1,0,0) ; v(1,1,3,1,1) )

Pour trouver le noyau (qui est donc de dimension 3), résous l'équation dans IR⁵ :

A.X = O

Ok mais je n'arrive pas  à trouver ça avec la méthode de mon prof

voici un exemple de la méthode de mon prof avec la matrice:


enfait il trouve l'équation de Im(A) avec Gauss et lorsque l'on a une ligne de 0 il "prend" l'équation devant:
Mais ici je ne sais meme pas comment appeler les variables il y en a trop ? X, Y, Z , T , W ?
on aurait alors:



Mais j'ai le droit de supprimer des lignes ds mon calcul?

Je suis pas sure mais je trouve:
Im(A)= {(X,Y,Z,T,W) / Y=Z=T=W=0 }

Appelle X,Y,Z,T,U les lignes et ecris ces lignes de la manière suivante :

Z
X
Y
T
U

puis, effectue :

Z
X
Y - X
T - X
U - X

Im(A) a donc pour équation cartésienne :

X = Y
X = T
X = U

Equations de trois hyperplans indépendants en dimension 5 : dim(Im(A)) = 2

X = Y
X = T
X = U


donc X=T=Y=U

on pose w=(X,X,Z,X)

on trouve : =vect{(1,1,0,1,1);(0,0,1,0,0)}

Ker(A)={(x,y,z,t,u)/ x+y+3z+t+u=0 et z=0)

soit x+y+t+u= 0

x= -y-t-u
on pose w(-y-t-u,y,z,y,t,u)

mais je crois m'etre trompé pour le z (ca me fait trop d'inconnues sinon et je n'aurais pa 3 vecteurs)

peut etre w=(-y-t-u,y,0,y,t,u)
y(-1,1,0,1,0,0) + t(-1,0,0,0,1,0) + (-1;0,0,0,0,1) ?

L'équation cartésienne de Im(u) est :



Les deux vecteurs indépendants : (0,0,1,0,0) et (1,1,3,1,1) (par exemple) forment une base de Im(A).

Votre professeur a dû vous dire que les vecteurs colonnes indépendants de A forment une base de Im(A)