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Kerf et Imf
Juste une petite questions pratique !
l'exercice suivant :
E est un Kev. Soit f € L(E) cad f est l'ensemble des endomorphisme de E !
Montre que Kerf C Kerf² C Kerf^3 C .... C Kerf^n
et Imf^n C ... Imf² C Imf. ???
Pensez vous que je doit procéder à une raisonnement par récurrence ??
Regarde déjà ce qui se passe sans récurrence pour sentir le processus d'hérédité, puis écris les choses rigoureusement à l'aide d'une récurrence, oui.
remycmoi -> Rigoureusement, si.
fifou -> Si x est dans KEr f, on a f(x) = 0.
Pour montrer qu'il est dans Ker(f²), il faut alors prouver que f(f(x)) = 0. Alors?
Hmmm, comment prouves tu que x appartient à Ker (g). Comment prouves tu que x appartient à Im g.
Ecris les définitions et tu verras qu'il n'y ABSOLUMENT rien à faire.
donc on dit que vu que f est un endomorphisme, si x et dans Kerf alors f(x) = 0 et f(f(x)) = f(0) donc = 0 car f endomorphise ! ça donnerait qqchose comme ça ?
ne pourrait-on pas démontrer que fof = f ??
ce qui reviendrai à dire que f = f^n pour tout n de N ! Donc on aurait l'inclusion ...
je commence à piger le raisonnement mais je pense être encore très loin de la rédaction pour mon exercice ... :/
>> Dryss
Ben x appartient à Kerg si x appartient à E et g(x) = 0
puis x appartient à Img si x appartient à E tel que g(x) appartient aussi à E !
voilà j'ai ecris les définition et en effet je ne vois ABSOLUMENT rien ! 
Non non, on est dans le cas général, il n'y a nul lieu de supposer que fof = f! 
Ta première ligne était juste, fof(x) = 0 donc x appartient à Ker(f²), donc Ker(f) est inclus dans Ker(f²).
A présent, essaie de prouver que pour tout p, Ker(f^p) est inclus dans Ker(f^(p+1)).
Bon ... Avec une récurrence : si x 
ker(f), f(x) = 0 donc fn(x) = f(fn-1(x)) = f(0) = 0 !!!!!
Si x Im(fn), x = fn(y) = fn-1(f(x)) = fn-1(z) ......
Est ce qu'il faut préciser davantage ?
donc récurrence ?
j'étais parti sur ça au tout début mais ya quelque chose qui coince en fait ! en effet on a x appartient à kerf si f(x) = 0 ok mais après j'ai mis f(0)=0 .. ça m'arrange bien par la suite mais pourquoi f(0)=0 ? il faudrait alors supposer que 0 appartient à Kerf ?
le raisonnement je pense l'avoir la rédaction je ne la suit pas ... si tu pouvais m'éclaircir sur le fait que f(f(x)) =0 soit f(0)=0 ??
Non, on est parti de x dans KEr f et on a montré fof(x) = 0.
Cela veut dire que tous les x de KEr f vérifient automatiquement fof(x) = 0 autrement dit f²(x) = 0, autrement dit x dans Ker(f²).
Ainsi, Ker(f) est inclus dans Ker(f²).
Traite la p ème inclusion à présent!
Mais si!
on dit que vu que f est un endomorphisme, si x et dans Kerf alors f(x) = 0 et f(f(x)) = f(0) donc = 0 car f endomorphise
Je maintiens : même, rigoureusement, il n'y a PAS BESOIN de récurrence:
Soit
Soit
Alors
IE,
IE,
Soit
Alors
IE,
IE,
On a montré :
Fixer un entier, raisonner sur celui-ci, et en déduire un "quel que soit n, P", ça n'est pas une récurrence!
Ca se discute, Rémy :
Pour moi, une chaîne de n-1 d'inclusions, c'est plus que l'ensemble de chacune de ces inclusions.
En fait, rigoureusement, c'est un raisonnement par récurrence qui te permet de prouver que si pour tout p entre 1 et n-1, Ap
A(p+1), alors A1 A2 .... An.
Autrement dit, la définition même d'une chaîne de relations se définit par récurrence.
Non. n'est qu'une manière "pratique" (d'ailleurs pour les puristes, le symbole de l'inclusion référant à une relation (binaire), il n'y a pas lieu d'écrire les choses ainsi) d'écrire
.
C'est juste une manière (admise certes) de réécrire les choses sans doute plus clairement. Pas une AUTRE propriété. Et donc l'implication dont tu parles est vraie par DEFINITION. Et ça n'est pas défini par récurrence (essaie par exemple d'écrire proprement par récurrence la définition de cette convention d'écriture, tu verras que ça n'a pas de sens.)
Sans doute tu confonds avec des habitudes similaires qui consistent à écrire, des choses comme par exemple "x1+x2+...+xn", qui là, sont en effet définies par récurrence à la base. Le + est une loi interne. pas l'inclusion.
si tu n'es toujours pas d'accord je t'invite à écrire proprement la récurrence à laquelle tu penses...
Je me méfie toujours des gens qui parlent de manière "pratique" d'écrire les choses!
C'est PRECISEMENT parce que la relation d'inclusion est une relation BINAIRE qu'on a besoin d'une récurrence pour montrer une telle chaîne d'inclusions!
Définition:
Soit R une relation binaire sur un ensemble E.
On définit par récurrence, pour tout k supérieur ou égal à 1, la relation (k+1)-aire Rk sur E par:
*si k = 1, R1(x,y) <=> x R y
*Pour tout k supérieur ou égal à 1, pour tout (k+2)-uplet (x1,...,x(k+2)) d'éléments de E,
Rk+1(x1,...,x(k+2)) <=> [Rk(x1,...,x(k+1)) et x(k+1) R x(k+2)]
Pour en revenir à nos moutons, on a Ker f Ker(f²) ,
et si à l'entier p < n, Ker(f) ... Ker(fp) ,
alors comme on a montré que Ker(fp) Ker(fp+1) , on en déduit d'après la définition précédente que:
Ker(f) ... Ker(fp+1) , ce qui achève la récurrence.
Pour quelque chose qui n'a pas de sens, je trouve que ça se tient pas si mal que ça... 
Ta définition est équivalente à la mienne... mais inutilement alambiquée. Il n'est nullement nécessaire d'utiliser la récurrence pour définir une chaine de relations comme celle-ci. D'autant plus que du coup ça complique la rédaction des preuves qui y font appel.
En maths on peut toujours compliquer les choses sans les rendre fausses, certes.
Ce que je disais, à la base, c'est seulement que la récurrence n'est pas NECESSAIRE à cette preuve. (mais on peut y faire appel si vraiment on le veut... en outre on pourrait aussi remonter assez loin vers les axiomes pour dénicher là où la récurrence a DU être utilisée, comme dans la définition de f^n, mais ça serait un peu hors sujet dans la rédaction de la solution d'un exercice à ce niveau là.)
Bon, je suis d'accord que sur le fond, ta définition et la mienne sont équivalentes.
Je n'avais pas trop apprécié en revanche le fait que tu me dises que mon point de vue n'avait pas de sens, mais ce sont les aléas des interprétations qui ont toujours lieu sur les forums en raison de la seule présence de l'écrit. 
Mais comme l'équivalence de nos points de vue nécessite une démonstration, la seule question est en somme est de savoir quelle définition on a donné à fifou d'une chaîne d'inclusions.
Cela dit, j'admets que si on ne lui en a pas donnée (ce qui est en fait le plus probable! 
), alors il a le choix de la méthode.
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