Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

L'anneau Z[V2]

Posté par
Mathonda 31-10-09 à 19:06

Bonsoir
voici un exercice les
qui me pose de sérieux problèmes,je n'y arrive simplement pas ,et je m'en excuse déjà...voulez-vous bien m'aider ?

On note Z[V2] la partie de IR définie par : Z[V2] =(a+bV2|(a,b)E Z²)

1.Montrer que (Z[V2],+,x) est un sous-anneau commutatif de (IR,+,x)

Est-ce qu'on peut utiliser le ss anneau de Gauss ?

quoique non ça n'appartient pas à C

Bon déjà (Z,+) est un groupe commutatif .
après je ne vois pas ...je ne sais pas le faire ...

Comment vérifier que l'énélement neutre est 1 ? qu'il y a associativité avec cette définition de Z ?

2.Soit un élément x EZ[V2],montrer l'unicité d'unn couple (a,b)E Z² vérifiant x =a+bV2 ?

???quelle méthode utiliser ??

3.Grâce à l'unicité du couple (a,b) ,on définit pour x EZ[V2] deux applications phi et N par :

phi(x)=a-bV2 et N(x)=a²-2b²

a.Montrer que phi est un isomorphisme de l'anneau (Z[V2],+,x) vers lui-même .

si je prend (x,y) je montre que phi(x+y)=phi(x)+phi(y) ??

b) Pour x E Z[V2] ,exprimer N(x) a l'aide de x et phi(x).
c)Montrer que pour tout x et y E (Z[V2])² ,N(xy)=N(x)N(y)

d'après b c'est un isomorphisme donc ...( ?)
N(xy)=(xy)²-2(xy)²=...pas bon

4.On note B l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau Z[V2].

a)De quelle structure peut-on munir l'ensemble B ?(sans démontrer)

la même que Z ,+ et x ?

b)Soit x EZ[V2] .Montrer que x E B<=>N(x) E {-1,1}
...petite piste ?
c)Montrer que (1+ V2) E B et déterminer son inverse .
............

d)En déduire que pour tout nE Z ,(1+V2)^nB et -(1+V2)n B

je pense que l'on peut le déduire de c) non ?

e)Soient deux entiers strictement positifs(a,b)E(IN*)² .On suppose que (a+bV2) B .
Montrer que ba<2b


f)Bon là c'est pire pour moi

Montrer que (a+bV2)/(1+V2) B .On pose alors a1+b1V2= (a+bV2)/(1+V2) avec (a1,b1) Z² .

.....
Montrer que 0<a1 a et que 0<=b1<b

g)Montrer que pour tout (a,b) IN² ,si a+bV2 B ,alors il existe un entier kE IN tel que (a+bV2)=(1+V2)^k
...
h)En déduire les éléments de B

Bon je vous l'ai dit c'est catastrophique ,je m'en excuse ,j'ai appris le cours fait des petits exercices ,j'ai déjà un peu de mal ,alors pour cet exercice ...

Merci

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 31-10-09 à 19:36

Bonsoir.

1)
Anneau: C.A.N.S.A.D.

pour l'addition: commutatif, associatif, élément Neutre, tout élément Symétrisable....
pour la multiplication: associatif distributivité....

un sous anneau de Z doit vérifier:
i. il est non vide
ii. si a;b dans Z[V2], alors a*b dans Z[V2] et a-b dans Z[V2]
ce qui est trivial...

2) unicité d'écriture
si x \in Z[\sqrt2], il existe a et b tels que x=a+b\sqrt2]
il faut montrer que si x= x=a'+b'\sqrt2] alors a=a' et b=b'
autrement dit

si (a-a')+(b-b')\sqrt(2)=0 alors a=a' et b=b'
ça se démontre assez facilement (de la même façon que racine de 2 irrationnel)

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 31-10-09 à 19:38

une remarque, c'est un problème que j'avais posé en terminale dans les seventies.....

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 31-10-09 à 20:35

Bonsoir

Merci pour votre réponse (et remarque ! lol)

2.Je n'arrive pas bien à faire le rapport avec la démo du 2

Je pose V2 =p/q (pas de sens )

si non on a a'+b'V2=a+bV2

                  =(a'-a)+V2(b'-b)=0

ça paraît assez immédiat le a=a' et b=b' , je ne vois pas comment le démontrer

Posté par
jeansebre : L'anneau Z[V2] 31-10-09 à 21:24

Bonsoir

(a'-a)+V2(b'-b)=0  donc (a'-a)= V2(b-b')

a gauche un nombre entier, a droite un nombre irrationnel (démontrable par l'absurde!)...sauf si c'est 0 des 2 cotés.

D'ou la conclusion.

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 31-10-09 à 22:07

V2= (a-a')/(b-b')et je fais la démo du V2 ,ça n'a pas de sens non plus .
Faut- que je montre qu'à droite j'ai un irrationnel
je le fais séparemment alors du (a-a') non ?Car si non je ne vois pas le rapporchement

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 31-10-09 à 23:10

(a-a')/(b-b') est un rationnel et V2 est un irrationnel.....

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 01-11-09 à 18:52

Bonsoir
Merci pour vos réponses .
Essayons :


alors V2²=(a-a')²/(b-b')² avec a-a' et b-b' premiers ,On a
2(b-b')²=(a-a')²

alors (b-b')² est paire et donc b-b' aussi et s'écrit (b-b')=2k

donc on a 4k=(a-a')²=>(a-a')=2k
donc paire aussi ,a-a' et b-b' ont un diviseur commun ,absurde donc V2 est irrationnel .
D'où la conclusion ?

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 01-11-09 à 19:35

SI on peut trouver 4 entiers a;b;a',b' tels que a+b\sqrt 2= a+b\sqrt 2 tels que a différent de a'
cela signifie que (a-a') +(b-b')\sqrt 2
alors on a:



soit m le PGCD de (a-a') et (b-b
on pose u= (a-a')/m et v = b-b'/m

on a u²=2v²   et u et v différents de 0...et u et v premiers entre eux.

ce qui est impossible puisque u et v premiers entre eux...

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 01-11-09 à 20:50

oula je n'y aurais pas pensé ,mais pourquoi ma démonstration ne va pas ? puisque finalement j'ai toujours a-a' et b-b' premiers ?

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 01-11-09 à 21:02

petite aide pour la 3 ?

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 02-11-09 à 08:34

Citation :
3.Grâce à l'unicité du couple (a,b) ,on définit pour x EZ[V2] deux applications phi et N par :

phi(x)=a-bV2 et N(x)=a²-2b²

a.Montrer que phi est un isomorphisme de l'anneau (Z[V2],+,x) vers lui-même .




Citation :
si je prend (x,y) je montre que phi(x+y)=phi(x)+phi(y) ??


il faut montrer (cours)
que pour tout x,y de l'anneau.

1. \phi (x-y)= \phi(x)- \phi(y)   <------- morphisme de groupe
2. \phi (x*y)= \phi(x)* \phi(y)  <---------compatible avec la multiplication

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 02-11-09 à 09:22

\left[ \\ {\begin{array}[c] \\ x^{2}\,, \,x\,, \,3\,x^{4}\,, \,4\,x^{5}\,, \,5\,x^{6}\,, \,6\,x \\ ^{7}\,, \,7\,x^{8}\,, \,8\,x^{9}\,, \,9\,x^{10}\,, \,10\,x^{11} \\ \\ \\ 2\,x^{3}\,, \,4\,x^{4}\,, \,6\,x^{5}\,, \,8\,x^{6}\,, \,10\,x^{7} \\ \,, \,12\,x^{8}\,, \,14\,x^{9}\,, \,16\,x^{10}\,, \,18\,x^{11}\, \\ , \,20\,x^{12} \\ \\ 3\,x^{4}\,, \,6\,x^{5}\,, \,9\,x^{6}\,, \,12\,x^{7}\,, \,15\,x^{8 \\ }\,, \,18\,x^{9}\,, \,21\,x^{10}\,, \,24\,x^{11}\,, \,27\,x^{12} \\ \,, \,30\,x^{13} \\ \\ 4\,x^{5}\,, \,8\,x^{6}\,, \,12\,x^{7}\,, \,16\,x^{8}\,, \,20\,x^{ \\ 9}\,, \,24\,x^{10}\,, \,28\,x^{11}\,, \,32\,x^{12}\,, \,36\,x^{13 \\ }\,, \,40\,x^{14} \\ \\ 5\,x^{6}\,, \,10\,x^{7}\,, \,15\,x^{8}\,, \,20\,x^{9}\,, \,25\,x \\ ^{10}\,, \,30\,x^{11}\,, \,35\,x^{12}\,, \,40\,x^{13}\,, \,45\,x \\ ^{14}\,, \,50\,x^{15} \\ \\ 6\,x^{7}\,, \,12\,x^{8}\,, \,18\,x^{9}\,, \,24\,x^{10}\,, \,30\,x \\ ^{11}\,, \,36\,x^{12}\,, \,42\,x^{13}\,, \,48\,x^{14}\,, \,54\,x \\ ^{15}\,, \,60\,x^{16} \\ \\ 7\,x^{8}\,, \,14\,x^{9}\,, \,21\,x^{10}\,, \,28\,x^{11}\,, \,35\, \\ x^{12}\,, \,42\,x^{13}\,, \,49\,x^{14}\,, \,56\,x^{15}\,, \,63\,x \\ ^{16}\,, \,70\,x^{17} \\ \\ 8\,x^{9}\,, \,16\,x^{10}\,, \,24\,x^{11}\,, \,32\,x^{12}\,, \,40 \\ \,x^{13}\,, \,48\,x^{14}\,, \,56\,x^{15}\,, \,64\,x^{16}\,, \,72 \\ \,x^{17}\,, \,80\,x^{18} \\ \\ 9\,x^{10}\,, \,18\,x^{11}\,, \,27\,x^{12}\,, \,36\,x^{13}\,, \,45 \\ \,x^{14}\,, \,54\,x^{15}\,, \,63\,x^{16}\,, \,72\,x^{17}\,, \,81 \\ \,x^{18}\,, \,90\,x^{19} \\ \\ 10\,x^{11}\,, 20\,x^{12}\,, 30\,x^{13}\,, 40\,x^{14}\,, 50\,x^{15 \\ }\,, 60\,x^{16}\,, 70\,x^{17}\,, 80\,x^{18}\,, 90\,x^{19}\,, 100 \\ \,x^{20} \\ \end{array}} \\ \right]

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 02-11-09 à 09:31

oh pardon, j'ai fait une fausse manœuvre......

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 03-11-09 à 15:35

bonjour

Merci pour votre réponse .

Je n'ai pas cette démo dans le cour ( ??) on n'en a fait aucune sur les morphismes ...pouvez-vous me donner le point de départ car peut-être cela m'a échappé ou je n'ai pas bien cherché ?

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 03-11-09 à 15:53

Il n'y a pas besoin de cours pour comprendre cela.....


un morphisme d'anneau:

si je fais un calcul avec un signe égal dans le premier anneau, alors je retrouve le même calcul avec le signe égal dans le 2ème.
en remplaçant les éléments x,y,z du premier par les éléments f(x),f(y), f(z) du 2ème ensemble.
cela me semble très intuitif.....

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 03-11-09 à 17:56

ne vous énervez pas mais je ne comprends pas ...

dans mon cour il y a écrit : phi(a+b)=phi(a)+phi(b)
                             phi(a*b)=phi(a)*phi(b)
...mais ça aide pas ...

pouvez-vous me donner un exemple de cela :

Citation :
en remplaçant les éléments x,y,z du premier par les éléments f(x),f(y), f(z) du 2ème ensemble.
cela me semble très intuitif.....

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 03-11-09 à 19:23

non, je ne m'énerve pas...

pardon si j'ai pu paraitre un peu brutal......

Citation :
Citation :
en remplaçant les éléments x,y,z du premier par les éléments f(x),f(y), f(z) du 2ème ensemble.
cela me semble très intuitif.....

prenons un exemple de morphisme d'anneau..... (même si c'est un morphisme de corps)....


le conjugué dans C.


je calcule

A= (3z-4)(2i-5) + (7-4i)(2+3z-i)^5 \\
si je veux \bar A

je tape:

\bar A = (3\bar z -4)(-2i -5)+ (7+4i)(2+3 \bar z +i)^5

j'ai remplacé 1 par 1
i par -i
et z par \bar z


morphismes d'anneau: Z -> Z/nZ, x -> classe de x
ou les applications linéaires de Rn et les matrices....
Polynomes et valeur du polynome en a;.....


d'autres exemples de morphismes de groupe:

la fonction exponentielle et le logarithme (R^*_+, \times) et (R;+)

Posté par
Mathondare : L'anneau Z[V2] 04-11-09 à 17:02

Merci

pour revenir a l'exo alors :

Citation :
3.Grâce à l'unicité du couple (a,b) ,on définit pour x EZ[V2] deux applications phi et N par :

phi(x)=a-bV2 et N(x)=a²-2b²

a.Montrer que phi est un isomorphisme de l'anneau (Z[V2],+,x) vers lui-même .



je prends (x,y,z) appartenant à l'anneau et je montre phi(x*y*z)=phi(x)$phi(y)*phi(z)???

Posté par
esta-fettere : L'anneau Z[V2] 04-11-09 à 17:12

Il suffit de montrer que:pour tout x et y de Z[V2]



1. \varphi(x-y)=\varphi(x)-\varphi(y)
2. \varphi(x \times y)=\varphi(x)\times \varphi(y)

donc on prend 4 nombres a;b   a';b' et on vérifie .....


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !