est-ce qu'une application injective f entre E et F nous assure que dimE = dimF ?
Et pour quelle raison ?

NON
pour une application linéaire de E dans F on a toujours
dim Ker f+dim f(E)=dim E
donc quand f est injective
dim f(E)=dim E
l'image de f : f(E) conserve la même dimension que dim E
mais il n'y a aucune raison pour que f soit surjective et donc on ne sait rien sur dim F juste qu'elle est supérieure ou égale à dim f(E)=dim E

Ah oui, bien vu ça :
dimE = dimkerf + dimImf, et puisque le noyau de f est réduit au vecteur nul, on a que
dimImf = dimf(E) = dimE.
Géant !

Je me demandais si cela avait un rapport avec les bases, mais non, merci du coup de main !

si bien sûr ça a un rapport avec les bases car le théorème des dim
dimE = dimkerf + dimImf
se démontre avec les bases

Bonjour

Cela peut aussi avoir un rapport avec les bases Merli si on voit cela ainsi :

si c1 ; c2 ; ... ; cp est une base de C et que g est injective sur C
alors g(c1) ; g(c2) ; ... ; g(cp) est un système libre (image d'une famille libre par une application injective) et c'est aussi générateur de g(C)... pratiquement par définition de Im(g)... c'est donc une base de Im(g) et Im(g), ou encore g(C) a donc aussi une dimension égale à p.

MM

Ah d'accord, voilà une deuxième manière de voir la chose.
Merci pour ce point de vue MM, je vois très bien ce que cela représente...

Mais je ne comprends toujours pas pourquoi on doit exiger que f soit injective, la preuve de ceci ne figurant pas dans mon cours, je me demande d'où il a tiré ce résultat

En tous cas, merci pour vos réponses, amis des maths

si f n'est pas injective, il n'est pas du tout sûr que l'image d'une famille libre soit une famille libre !

Moi je me dis que même si f est injective, il n'est pas sûr que l'image d'une famille libre en soit une Tu vois où j'en suis

oh ben ça c'est quasi une propriété du cours !

si la famille des (e_i) est libre et que f est injective,

considère une CL nulle des f(e_i)

utilise la linéarité pour obtenir f(CL des e_i)=0

puis l'injectivité (noyau réduit au vecteur nul) pour dire que la CL des e_i est nulle

puis l'indépendance linéaire de cette famille pour dire que les coefficients sont tous nuls

et le tour est joué !

Bravo !

Très jolie manière de montrer cela !
Du coup, cela me paraît évident et je comprends d'où vient cette injectivité tellement nécessaire.

Merci pour ton aide, et au plaisir de te rendre la pareille !

je pense que tu as ce genre de démonstration dans ton cours... je n'ai rien inventé !

Il faut bien apprendre le cours en refaisant toutes les démos (avec un papier et un crayon !) et cela aide pas mal !