Salut,
ne serait-il pas irréductible dans R[X]?

pardon c'est sur Z[X] qu'il est irréductible!

OK si c'étai sur C[Z] alors po grave mai est ce que je peu avoir la décomposition?

perso,je vois pas de racine réelle...mais bon peut-etre j'y vois plus trés clair...
pour moi y'a pas de décomposition dans R[X]
(je peux me tromper!)

Bonjour à tous !

Effectivement, ce polynôme est irréductible dans R[X] :
On peut considérer la fonction f: xx⁴+x+1. Montrons que f est strictement positive sur R pour en déduire qu'elle n'admet pas de racines réelles.

Elle est clairement dérivable sur R, et f'(x)=0 ssi .
On constate alors qu'en ce point c'est un minimum strict soit par la dérivée seconde, soit par un tableau de variation.
Assurons nous maintenant que f(x₁) est strictement positif, ainsi f sera strictement positive.

,

car .

sauf erreur

Bonjour

Les seuls polynômes irréductibles de R[X] sont du premier ou du second degré!
Et un polynôme sans racines n'est pas forcément irréductible!

On cherche X^4+X+1=
d'où c=-a, d=1/b, et le terme central

et ceci mène à des équations fort peu sympathiques mais qui ont une solution unique!

Pour bien vous convaincre, on a



et ce polynôme n'a pas non plus de racines réelles! _{D'ailleurs je subodore que c'est celui-ci que voulait sinx}

Un polynome de degré 4 n'est jmais irredcutible sur R comme l'a dit camélia. Sinon y a toujours les formules italiennes (cardan, tartaglia, del ferro et toute la clique) qui te donnerons des racines (complexes!) a toi de tout recombiner..

Re merci les amis pour vos réponses ..
Camélia j'ai bien aimé ta façon de travailler mais si ta amélioré le calcule et si tu vas vers la résolution des equations là tu trouver des prb
et pour lpolynome c X^4+X+1 po X^4+X^2+1
Merci

Bonsoir,

Rodrigo et Camélia ont raison... un polynôme de degré 4 n'est jamais irréductible dans R[X]

Camélia te donne une méthode, bien qu'elle l'ait fait pour un autre polynôme, elle peut s'adapter.

tu as essayé ?

alain

Même que j'ai deviné la question suivante! J'ai bien dit que se baladait par là!

salut les amis..
Camelia a dit que Les seuls polynômes irréductibles de R[X] sont du premier ou du second degré!
Et un polynôme sans racines n'est pas forcément irréductible!
ça c'est vrai exemple de X⁴+1
ce qui mene a dire que lraisonnement de Narhm est faux
et on ce qui concerne La méthode de Camélia J4ai essayé mai ça se résou po

Bonjour !
Je viens de voir l'évolution du topic.
J'ai commis une erreur en rédigeant mon message et je m'en excuse

Je répondais, en fait, au message de robby3 du 24-02-09 à 22:59, je voulais juste montrer qu'"effectivement ce polynôme n'avait pas de racines réels" ( et non qu'il était irréductible... dsl ) puisque, comme il a été dit à plusieurs reprises, les polynômes de R[X] irréductibles sont des polynômes de degré 1 ou 2!

Excusez-moi encore pour cette maladresse.

Narhm..mais nn pk on va t'excuser ça fai rien ..Merci pour ta réponse déja ça m'a aidé a savoir quon peu po décomposer le polynome en utilisant ses racines parce qu'il a po de racines..
Merci

Je ne crois pas que tu puisses trouver une formule explicite pour la décomposition de (à moins qu'il y ait une super astuce trigonométrique...) Mais tu peux quand même expliquer comment on trouve une décomposition! Après tout on ne sait pas écrire n'importe quel nombre réel...