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la fonction Gamma

Posté par
anonyme 12-12-08 à 22:22

Bonjour tout le monde !
j'ai du mal à démontrer un problème de convergence d'une suite vers la fonction Gamma:

1/Calculer : lim((1-t/n)n) (no comment: exp(-t))
2/ montrer que : x>0, (nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n)) -> (x)
3/ Etudier la convergence pour x dans -\ de:
(nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n))

Est ce que la question 1 est indépendante de 2, ce qui m'étonnerais fortement ...
n'ayant pas vu le lien,
j'ai écrit : (nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n)) = (nx)/(x(x/1+1)(x/2+1)...(x/n+1))
Voilà, j'ai tenter l'encadrement: exp(-x+x²/2)<1/(1+x)<exp(-x)
j'ai sans plus un encadrement de : (nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n)), mais ça ne suffit pas !
Merci de m'aider.
Cordialement.

Posté par
H_aldnoerre : la fonction Gamma 12-12-08 à 22:48

Non, ce n'est pas indépendant!

\Large \Gamma(x)=\Bigint_{]0,+\infty[} t^{x-1}e^{-t}dt.

Maintenant tu poses \Large f_n(t)=t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^n\mathbb{1}_{[0,n]}(t). Justifies avec le th. de convergence dominée de Lebesgue que :

\Large \lim_{n\to +\infty}\Bigint_{]0,+\infty[} f_n(t)dt=\Bigint_{]0,+\infty[}f(t)dt où \Large f(t) est la limite de la suite \Large (f_n)_n. Bien sûr, \Large f(t)=t^{x-1}e^{-t}.

Tu trouves la formule
\Large \lim_{n\to +\infty}\Bigint_{0}^n t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^ndt=\Gamma(x).

Maintenant tu fais ton changement de variable \Large u=\frac{t}{n}.

On tombe sur \Large \lim_{n\to +\infty}n^x\Bigint_{0}^1 u^{x-1}(1-u)^ndu=\Gamma(x).

Finis avec plusieurs IPP pour montrer que \Large \Bigint_{0}^1 u^{x-1}(1-u)^ndu=\frac{n!}{x(x+1)...(x+n)}.

Posté par
H_aldnoerre : la fonction Gamma 12-12-08 à 22:49

à vérifier, j'ai fait ça rapidement!

Posté par
anonymere : la fonction Gamma 12-12-08 à 22:51

okeyyyy merciiiii !!
j'avais posé fn(t) = tx-1(1-t/n)n, et donc je n'avais pas de convergence ! Mais avec ton indicatrice tout change. Merci beaucoup...

Posté par
H_aldnoerre : la fonction Gamma 12-12-08 à 22:58

De rien

D'ailleurs si on note \Large \varphi(u)=\Bigint_{0}^1u^{x-1}(1-u)^ndu, on retombe sur une fonction connue! C'est la fonction bêta : \Large \varphi(u)=B(x,n+1).

On peut montrer que \Large B(x,n+1)= \frac{ \Gamma(x) \Gamma(n+1)}{\Gamma(x+n+1)}. Puis on peut aussi montrer que \Large \frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+n+1)}=\frac{1}{x(x+1)...(x+n)} et comme on sait que \Large \Gamma(n+1)=n!, on arrive à ce que l'on attendait : \Large \varphi(u)=\frac{n!}{x(x+1)...(x+n)}.

Posté par
anonymere : la fonction Gamma 14-12-08 à 21:00

Comment dominer : fn(t)?
autrement dit, comment majorer (1-t/n)n par une fonction intégrable ?

Posté par
Ksilverre : la fonction Gamma 14-12-08 à 21:11

pour t<n, n'as ton pas (1-t/n)^n<exp(-t) ?

(enfait on est meme dans un cas d'application du th de convergence monotone)

Posté par
anonymere : la fonction Gamma 14-12-08 à 21:11

oui oui c'est bon je vois Merci !

Posté par
H_aldnoerre : la fonction Gamma 14-12-08 à 21:35

Pour être plus précis, nous avons \Large (1-\frac{t}{n})^n=exp(n ln(1-\frac{t}{n}) ). Puis, on peut écrire \Large ln(1-\frac{t}{n})=-\Bigsum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}(\frac{t}{n})^k=-\frac{t}{n}-(\Bigsum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k}(\frac{t}{n})^k).
Et comme \Large (\Bigsum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k}(\frac{t}{n})^k)\ge 0, on obtient \Large -\frac{t}{n}-(\Bigsum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k}(\frac{t}{n})^k)\le -\frac{t}{n}.

On passe à l'exponentielle dans l'inégalité, un petit DL en 0, et on conclut


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