Bonsoir

fais déjà un petit dessin sur un cas simple.

Deux patates et des flèches !

E={a;b;c} et F={1;2;3;4}
f(a)=1
f(b)=2
f(c)=3
elle est bien injective !
construis moi une application de F dans E

qui soit surjective bien sûr !

construire une application de F dans E... ça veut dire que je dois chercher à définir une application inverse?

je ne comprends pas ce que tu appelles "application inverse"
tu as fais le dessin de mon exemple ?

Bonjour à ts les 2


pr le cas 1, je ne vois que la restriction de f^-1 à f(E) qui s'appliquerait sur E, on aurait alors une bijection, dc aussi une surjection


pr le cas 2 , j'avais appris que la réciproque d'une surjection ne POUVAIT PAs être une application,  dc a fortiori une injection :?

Qu'en dis-tu MM ?

g(1)=a
g(2)=b
g(3)=c

et le 4 est tout seul donc je viens de construire une application surjective.

pppa : j'en dis que f^-1 n'existant pas, je vois mal comment on pourrait la restreindre...
il faut définir cela plus méticuleusement

>>>pppa : c'est l'énoncé mot pour mot...

bill :
ton application g n'est pas définie sur F puisque tu n'as pas attribué d'image à 4
(je ne comprends pas ton histoire de 4 qui est tout seul)
donc tu prends g(1)=a ; g(2)=b et g(3)=c, d'accord. et g(4) ?

un élément quelconque non, je suppose son existence?

si tu veux définir g sur F, tout élément de F doit avoir une image et une seule par g... donc g(4)= ???

donc g(4)=d

NOn-SENS ! g(4) doit être un élément de E puisque g est une application de F dans E

Pardon d'avoir interféré sans faire avancer le sujet de Bill ; je me doutais bien que mes réponses étaient simplistes, mais ce genre de sujet m'intéresse.

Accessoirement, MM, je ne comrends pas prquoi f_-1 n'existe pas ; qd le pb sera résolu pr Bill, est-ce que tu pourras me dire stp : merci d'avance

je peux te le dire tout de suite : pour définir f^-1 de F dans E, il faut que tout élément de F ait un unique antécédent par f (pour qu'on puisse sans ambiguïté remonter à la source !) et donc il faut que f soit à la fois injective et surjective

>>MM Merci MM ; détaillé comme ça je comprends. Jusqu'à maintenant, ds la "théorie" des ensembles, on est tjs parti de RELATIONS d'un ensemble vers un autre ou ds lui-même (voilà prquoi parler de [relation] réciproque d'une surjection, qui ne peut ds pas être une fonction) ne me choquait pas...

Mais bon c'est le sujet de Bill, je ne veux pas dévier de sa demande initiale, on aura p.e. l'occasion d'en reparler ds un autre topic


>> Bill : excuses pr ces digressions ..

disons qu'une application est un cas particulier de relation...

voici la solution du 1 de son problème... puisqu'il a l'air parti à d'autres occupations !

soit f : EF, injective.
et j'appelle "a" un élément donné de E (peu importe lequel)

je construis l'application g : FE de la façon suivante

si xf(E), alors il a un antécédent par f (définition de f(E) et il est unique (f injective). Je pose g(x)= cet unique antécédent de x

si xf(E), je pose g(x)=a

g est bien définie de façon unique sur tout élément de F
et elle est surjective puisque si on prend un élément z de E, z est l'unique antécédent de f(z) et donc z=g(f(z)) ... ce qui prouve que tout élément z de E est atteint par g.

voilà

OK, compris pr moi ; c'est là que le mot "CONSTRUIRE" de l'énoncé prend tt son sens.

Je suis (du verbe suivre) ce sujet en parallèle avec le mien

bonne soirée

:?:?:?

revois un peu ton cours et la définition de f(E) et la définition de "surjective" !

ah dsl je suivais pas ta correction mais celui de l'exercice...
mais si si je connaît très bien mes définitions

voilà la correction proposé de l'exercice:

Par définition de f(E), est surjective donc elle est bijective car on sait déjà qu'elle est injective.

donc il existe bijective

soit e E fixé. On définit pour tout y de F

g(y)=f^-1(y) si y appartient à f(E)
g(y)=e sinon

g est surjective car g(F) est dans E et f^-1(f(E))=E est dans G
je déduis que g(F)=E

f(E) est l'ensemble des élément de F tel que f(x)=y? non?

ah oui oui j'ai tout de suite compris que l'application qui va de E à f(E) est toujours surjective (tout élément de f(E) admet au moins un antécédent)

logique car si j'applique à toutt élément de E une application qui va vers F, alors f(E) est l'ensemble des images de ces éléments de E  donc l'application (avec restriction de l'ensemble d'arrivé) est surjective!

mais quelle question bête...

je connais bien sûr toutes mes définitions (je suis pas fou j'ai partiel ce lundi)

j'ai pas compris ta correction mateuxmatou mais celui proposé sur feuille est plus clair...

Merci tout de même...

c bon j'ai compris:

f(E) inclue dans F donc f^-1(f(E)) inclue dans g(F) (g étant surjective)

or g(F) inclue aussi dans f^-1(f(E)) alors g(F)=f^-1(f(E))=E

j'ai bien défini une application g qui soit surjective

que veut dire ce symbole ?

si j'ai AB alors je peux aussi écrire BA

non?

up

pas clair pas clair pour moi ton explication, bon je vais me rabattre sur la correction...

tu fais comme tu le sens !
mais je peux te dire que si tu parles de l'application f^-1 alors que f est simplement injective, tu commets un non-sens grave.
Maintenant, si les explications dont tu disposes te semblent "plus claires", je ne vois pas pourquoi tu demande de l'aide ici !

cordialement

MM

l'application f-1 alors que f est simplement injective...

j'ai dit ça? où?

cet application n'est définie que si f est bijective...

si g(F) sur-ensemble de E alors g surjective. (les éléments admettent au moins un antécédent dans F car on avait dit au départ que f injective)

est-ce juste?

alors est-ce que je peux dire ça:


si F sur ensemble de f(E) alors g(F) sur ensemble de f^-1(f(E)) impliquant que g soit surjective  (ce je trouve intuitivement évident)

est-ce juste?

donc E sur ensemble de g(F) qui est à son tour sur ensemble de E donc g(F)=E

g est une application surjective bien défini sur F

bon, écoute, on te demande de construire une application g de F dans E. On la construit sur des éléments... pas sur des ensembles...

je t'ai fourni une solution rédigée du 1...

on ne va pas philosopher une éternité là-dessus et compliquer les choses pour le plaisir !

je ne comprends absolument pas comment tu construis ton application g

mm

bah j'ai défini

pas très propre le code mais bon c lisible....

e étant un élément quelconque de E.

bon écoute, c'est ma dernière réponse :

f^-1(y) n'existe pas !!!!!

l'application f^-1 n'est pas définie !

donc tu dois formuler sans utiliser cette notation

ah bizarre parceque c'est ce qui est écrit dans la correction

bon bref je vois de cette façon

F sur-ensemble de f(E)
il y a des y qui sont dans f(E) et des y qui ne le sont pas. l'ensemble des y contenue dans f(E) c'est f(E)

et l'ensemble des y qui sont contenue dans f(E) ET qui ne le sont pas est g(F)

donc g(F) sur-ensemble de f^-1(f(E))...  il y a plus de y (enfin bon c'est intuitivement clair)

est-ce juste?

merci d'avance

pourquoi f^-1(y) n'est pas définie

j'ai dit qu'elle était définie si et seulement si y appartient à f(E)...

où est le problème?  :?

f n'est pas bijective donc f^-1 n'existe pas... c'est quand même pas sorcier !

par contre un élément y de f(E) admet un unique antécédent par f quand f est injective, mais on ne peut pas le noter f^-1(y)...

allez, bonne continuation à toi.

MM

Bonjour Bill, rebonjour MM

euh...

bien sûr qu'on ne peut pas parler de f^-1(y) mais peut-on parler de f^-1({y})?

merci d'avance.

ça oui... c'est l'image réciproque d'un ensemble... donc aucune hypothèse n'est nécessaire sur f (sinon d'être une application)

bah voilà il y avais un quiproquo tant mieux paceke j'ai contrôle demain!!

bonne soirée et merci encore...

ils ont bien dit construire g surjective de F à E remarque ce sont des ensembles...