Bonjour comlich

Citation :
quand je note k le plus grand indice telle que xk 0 , est ce que cela signifie bien que i [1,k-1] (je veux dire tous les entiers de 1 à k-1) xi=0.

Merci beaucoup. Sur ce qui est de la première partie de mon problème j'ai très bien compris mais la "nullité" de tous les vecteurs ne m'est pas encore claire, je pense néamoins qu'avec la première partie que je n'avais pas comprise j'arrivais à bien comprendre la 2ième. Je vous remercie.
C'est bien un raisonnement par l'absurde que je mène.

la nullité de ces vecteurs peut être prouvée en utilisant la définition du plus grand élément d'un ensemble.

Si on note , on a alors k=max(I).

Par définition du max, si un élément i est strictement supérieur au max k, ça veut dire que i n'appartient pas à I et donc l'assertion est fausse, c'est-à-dire que l'on a .

Est-ce plus clair ?

Kaiser
P.S : tu peux me tutoyer !

Cela me permet de re-comprendre que   i [k+1,n], x_i=0, mais pas la nullité de tous les autres (ie ceux d'indice de 1 à k-1). Je pense à un truc, est ce que "les vecteurs sont non tous nuls"   x_k 0 ?
Dans ce cas le résultat est immédiat.
Je suis là dessus depuis assez longtemps donc certains trucs qui devraient m'être évident m'échappent, mais je pense qu'à tête plus reposé j'y arriverai. Encore une fois merci.

mais pourquoi les k-1 premiers vecteurs seraient nuls ?

[quoteJe pense à un truc, est ce que "les vecteurs sont non tous nuls" xk 0 ?quote]

"non tous nuls" signifie qu'il y a au moins un vecteur non nul parmi ces n.

Kaiser

On cherchait à établir que tous les x_i sont nuls, on a supposé qu'ils sont non tous nuls, on a posé x_k le plus grand non nul ie x_k 0 et x_k+1, x_k+2,...., x_n sont nuls (ça je l'ai compris grâce à toi) . On montre enfin que x_k=0 ce que je n'arrive pas à voir c'est en quoi tous les autres vecteurs sont aussi nuls

Dans ce cas, il y a quelque chose qui m'échappe. Tu as peut-être oublié d'indiquer certaines hypothèses concernant ces vecteurs car sinon, il n'y a aucune raison qu'ils soient nuls.

Kaiser

J'ai eu un problème de connexion. Oui il y a une hypothèse sur les x_i, leur somme est nulle ie x₁+x₂+...+x_k+x_k+1+...+x_n=0.
C'est la démonstration de l'équivalence suivante :
( (x₁,x₂,...,x_n) E₁*...*E_n, x₁+...+x_n=0    k {1,...,n} x_k=0) (1) ( k {2,...,n} E_k={0}) (2).
Les E_k sont des sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. Il s'agit là de deux caractérisations d'une somme directe.
(1)   (2) je l'ai compris sans soucis, mais c'est (2) (1) qui me cause des problèmes, voici la démo qu'ils donnent dans le cours que j'ai :
Soit (x₁,...,x_n) E₁*...*E_n telle que   x₁+...+x_n=0.
Supposons que les x_k sont non tous nuls, et notons k le plus grand indice tel que x_k 0.
On a clairement k 1(c'est là qu'intervient ma première incompréhension), et x_k=-x₁-...-x_k-1 [] E_k, d'où x_k=0(ça je comprend pourquoi), ce qui est absurde.
Voilà textuellement la démo de mon cours, je ne comprend pas ce en quoi l'absurdité montrée conduit à la nullité de tous les vecteurs x_k.
Merci d'avance.

déjà, on a effectivement k différent de 1 car alors, comme dit plus haut, on aurait et comme la somme des vecteurs est nulle ça impliquerait que ce qui est absurde.

Ah d'accord! Tout est clair maintenant,  j'aurai justement dû te présenter les choses ainsi avant de te demander tout ça.
En tout cas je comprend parfaitement maintenant.
Je te remercie  ment.

Mais je t'en prie !