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les fonctions composées
bonsoir,
comment savoir lorsqu'on est confronté à une fonction composée,si on a affaire à g°f ou f°g?
merci
Bonsoir
Ben, a priori on ne sait pas... Ca dépend ce qu'on fait, ça dépend de l'énoncé.
On ne demande jamais "calculer la composée des deux fonctions"
On dira tout le temps "calculer la composée de telle fonction suivie de telle fonction" ou directement "calculer fog"
Bonjour 
Est-ce que tu peux donner un exemple ?
Genre si tu as alors c'est la composée de deux fonctions :
Donc et
Et on a
Enfin quand je dis "c'est la composée de deux fonctions" c'est plutôt "on peut l'écrire comme la composée de deux fonctions"
on m'a donné 6 fonctions sans preciser si il s'agissait de f°g ou g°f
1)f(x)=sin[(3x)-(pi/3)]
2)f(x)=
(x+1)/(x-1) (le tout est sous la racine)
3)f(x)=(x²-4x)^5
4)f(x)=1/[(x²+1)^3]
5)f(x)=sinx
6)f(x)=(sin x) /(cos²x+1)
telles sont les fonctions composées à dériver .le probleme est que je ne sais pas si c'est g°f ou f°g
à chaque fois.
merci
C'est !
Tu as des fonctions f qu'il s'agit de décomposer en fonctions élémentaires dont tu connais la dérivée.
dans le cas de l'exemple 1,on a 2 fonctions:
u(x)=sin x
et v(x)=(3x)-(pi/3)
faut il appliquer u°v ou v°u ?
C'est uov par définition qui n'est pas commutative de la composée de u par v. Définitions:
uov(x)=u(v(x))
vou(x)=v(u(x)).
Regarde u o v (x) = u( v(x) )
Et u(X)=sin(X) donc en remplaçant X par v(x)=3x-pi/3 on a bien u( v(x) ) = sin(3x - pi/3)
ok merci infophile et Dremi...
je vais essayer de dériver ces 6 fonctions et je posterai mes résultats ultérieurement.
pour la dérivée de la fonction n°3:
je trouve -6x (x²+1)²/(x²+1)^6
normalement je dois trouver -6x/(x²+1)^4
je ne vois pas d'ou vient mon erreur?!
pour la dérivée de la fonction n°4:
je trouve -6x (x²+1)²/(x²+1)^6
normalement je dois trouver -6x/(x²+1)^4
je ne vois pas d'ou vient mon erreur?!
f(x)=sinx/(cos²x+1)
comment décomposer cette fonction composée en 2 ?
merci de bien vouloir m'indiquer une piste.
pour la dérivée de la fonction n°4:
je trouve -6x (x²+1)²/(x²+1)^6
normalement je dois trouver -6x/(x²+1)^4
je ne vois pas d'ou vient mon erreur?!
Sauf erreur, c'est la même chose
En appliquant la formule (u^n)' = nu^(n-1)*u' tu tombes directement sur la réponse demandée sans avoir à simplifier.
pour la fonction n°6,
j'ai procédé d'une autre maniere:
j'ai posé:u(x)=sin(x) donc u'(x)=cos(x)
v(x)=cos²x+1 soit v'(x)=-2sin(x)
ai-je le droit de procéder ainsi?
non, non !!
Dans f, tu dois identifier u et v (ou g et h...), mais en aucun cas v' ou u'
Explications :
A+, KiKo21.
on m'a donné 6 fonctions sans preciser si il s'agissait de f°g ou g°f
4)f(x)=1/[(x²+1)^3]
telles sont les fonctions composées à dériver .le probleme est que je ne sais pas si c'est g°f ou f°g
à chaque fois.
merci
Je te montre pour la 4, car je n'y connais rien en trigo
f(x)=1/[(x²+1)^3] = (x²+1)^(-3)
Première étape pour faire cet exo, c'est définir les deux fonctions g et h qui permettront d'appliquer la formule :
f(x) = goh(x)
f '(x) = g'[h(x)]h'(x)
le probleme est que je ne sais pas si c'est g°f ou f°g
Dans la formule on les appelle g et h. Ce qu'il faut savoir avant tout, c'est que goh(x) veut dire qu'on fait d'abord h(x) puis on fait g[h(x)]
Dans notre exemple, on fait d'abord h(x) = x²+1 puis g(x) = x^(-3)
Si ça ne te semble pas évident, il faut revoir les fonctions composées, il y a des fiches là dessus dans les fiches de première. Je pense qu'il faut maîtriser la composition de fonctions pour s'en servir en dérivation.
Ensuite on trouve que
comme h(x) = x²+1 h'(x) = 2x
comme g(x) = x^(-3) g'(x) = -3x^(-4)
Comme f(x) = goh(x)
f '(x) = g'[h(x)]h'(x) = [-3(x²+1)^(-4)]*2x = -6x(x²+1)^(-4) = -6x/(x²+1)^4
On arrive donc au même résultat qu'avec la formule (u^n)' = nu^(n-1)*u'
Et voici un excellent topic qui peut toujours servir
Composée de fonctions : petite astuce pour vérifier gof(x)
Tu peux procéder comme cela, mais tu n'as pas écrit ta fonction f comme une composée, mais comme un quotient.
Erreur dans ta dérivation de v:
v'(x)=-2sin(x)cos(x)=-sin(2x).
Si tu veux écrire f comme une composée (c'est a priori la méthode qu'on t'impose), la proposition de kiko21 n'est pas juste:
Par contre
donc
f=uov avec u(x)=x/(2-x2) et v=sin.
Florian :
désolé je ne comprends pas
pourquoi remplacer sin(x) par V(1-cos²x) ?
Bien que n'aimant pas la trigo, je me souviens que sin²x + cos²x = 1
Kévin : je le mets dans mes favoris
désolé mais je ne comprends pas la demarche de kiko21:
1°) pourquoi g(x)=x/(2-x²)? (ligne 2 du post de 13h53)
2°)comment dans f(x),peut on avoir (2-sin²x)=cos²x+1) (au denominateur)
3°) comment aboutit on à : f'(x)=(3 cosx - cos^3x)/(cos²x+1)² ?
merci
comment deriver :f(x)=(sin x) /(cos²x+1)
désolé mais je ne comprends pas les explications ci-dessus (de kiko21)...
peut on poser:
g(x)=sin(x)
et h(x)=1/(cos²x+1) ?
Alors évidemment que tu peux écrire pour dériver f
g(x)=sin(x) et h(x)=1/(1+cos2x),
mais alors f=gh et tu as écrit ta fonction comme un produit et non comme une composée.
Tu trouveras la dérivée avec ta méthode, mais si tu veux dériver sans écrire ta fonction comme une composée, il est plus rapide de poser
g(x)=sin(x) et h(x)=1+cos2x
et alors f=g/h quotient.
Pour arriver à décomposer f en goh,
tu peux écrire
f(x)=g(X) avec X=h(x).
Donc on prend pour h une fonction telle que h(x) se répète dans l'expression de f(x)
et on obtient g en remplaçant h(x) par X dans l'expression de f(x).
Cailloux
dans ta formule de dérivation d'une fonction composée,
il y a une imprécision dans tes notations:
la variable x devrait être après le signe dérivée de la composée.
>> florian2
Je suis reparti du post de 13h53, soit à calculer:
sachant que:
et que:
Tu avais à dériver
On a bien
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