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Les nombres algebriques en fraction continue
Bonjour,
Je me permet de poster un message ici suite à de nombreuses recherches plus ou moins infructueuses pour pouvoir réaliser un projet en mathématiques.
L'un de mes principaux problèmes consiste à savoir comment approximer les nombres algébriques sous forme de fraction continue. Tout d'abord j'ai pensé que la méthode était identique aux nombres quadratiques, mais je me suis rendu compte d'une chose : Je n'arrive pas à faire la différence au premier coup d'œil entre un nombre quadratique, et un algébrique. Si vous pouviez me donner une petite astuce s'il vous plait ?
Et wikipedia est malheureusement un peu trop théorique pour moi qui ne suis hélas pas très doué en math. Mais passons.De fait wikipedia dit :
- racine(2) est quadratique et algébrique car elle a une solution sur x² - 2
- racine-cubique(3) est algébrique mais pas algébrique car elle a une solution sur x^3 - 2
Dans ce cas la methode d'approximation des nombres algebriques sous forme de fonction continue serait strictement la meme que les nombres quadratiques non ?
Ce serait donc la racine qui définit la puissance donc si elle est quadratique, algébrique, ou les deux ? Dans ce cas pourquoi retirer 2 ?
De ce fait je ne sais pas comment développer les algébriques en fraction continue, est-ce que ce serait exactement comme les quadratiques ?
De plus j'ai lu que l'on pouvait utiliser les approximants de Padé pour approximer un polynôme sous la forme d'une fraction continue de polynômes. Pourriez-vous m'expliquer comment cela fonctionne et comment extraire la partie entière d'une fraction composée de polynômes ?
Je vous remercie d'avance pour vos réponses ! 
Bonjour,
Je n'arrive pas à faire la différence au premier coup d'œil entre un nombre quadratique, et un algébrique. Si vous pouviez me donner une petite astuce s'il vous plait ?
Un algébrique est un nombre solution d'une équation entière de degré quelconque.
Un quadratique est un nombre solution d'une équation entière de degré 2.
"De ce fait je ne sais pas comment développer les algébriques en fraction continue, est-ce que ce serait exactement comme les quadratiques ?" >>> un nombre quadratique si et seulement si la suite des coeficients de sont dévelopement en fractions continus est périodique. ca fait quand meme une grosse différence entre nombres quadratique et nombres algébrique quelconque. à ma connaissance, il n'y à aucune régularité dans les coeficient du dévelopement en série d'un algébrique non quadratique... mais peut-etre qu'il y en à une que je n'ai pas vu (si tu trouve, je suis curieux de savoir)
Pour les approximant de Padé, il y à plusieur facon de les voir : soit avec les coeficient de Bezout, soit avec un algoritme du meme type que pour R. mais il y à plusieur versions selon qu'on veuille aproximer au voisinage de 0 ou de l'infini. cherche sur google, tu trouvera beaucoup de chose sur le sujet.
Et bien voila qui est plus clair, je vous remercie pour ces débuts de réponses, qui, je dois bien le dire, me debloquent bien !
pardon , mais je n'ai pas trouvé de bouton "editer".
Je sais par mon professeur que racine(2) est algebrique et quadratique, mais si le developpement d'un quadratique est periodique, alors pourquoi racine(2) est quadratique si son developpement en fraction continue [1, 2, 2, 2, 2, 2 ...] ?
Il n'y a pas de periode ici puisque le 1 ne revient jamais.
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