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les projecteurs
Bonsoir tout le monde,
Voilà un exercice de math qui est sur les projecteurs.
Problème : voilà LE cours que je ne comprends pas "les projecteurs".
Es-ce que vous pourriez m'aider sur cet obscure exercice pour me mettre sur la voix, toutes indications me sera d'une grande aide.
Merci d'avance.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit E un 
-espace vectoriel
de dimension n. On note e l'application identité de E et 
l'application nulle.
On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E vérifiant : p o p = p.
Dans la suite du texte, p et q désignent deux projecteurs et on pose s = p+q.
1. Quelques propriétés des projecteurs
a) Montrer l'équivalence : x 
Im p 
p(x) = x.
b) Montrer que : E = Im p 
Ker p.
2. a) Montrer que s est un projecteur si et seulement si p o q + q o p = .
b) Montrer que s est un projecteur si et seulement si p o q = q o p et p o q = .
INDICATION du prof: Reprendre l'égalité de la question précédente et obtenir deux
nouvelles égalités en composant par p à droite et à gauche.
c) On suppose ici que s est un projecteur. Montrer que :
Im s = Im p Im q et Ker s = Ker p 
Ker q
3. Dans cette question, on suppose que : p o q = q o p et p o q 
.
a) Montrer qu'alors Im p Im q {0E}.
b) Montrer que Ker s = Ker p Ker q et Ker (s-2e) = Im p Im q.
Voilà donc l'exercice mistère. Vive les projecteurs ...
Merci de votre aide.
Bonjour,
Et tu as fait quoi dans tout ceci ?
La question 1) n'est pas compliquée :
a) Par définition, un projecteur est un endo. vérifiant pop=p. Vois ce que tu peux faire avec.
b) Utilise le lemme des noyaux si tu l'as déjà vu et remarque que Im(p)=Ker(p-e). Sinon fais le directement à la main, avec les définitions de le somme directe.
La question 2), c'est pareil, il faut utiliser les définitions, que signifie s est un projecteur ? Déduis-en a)
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