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les sous ensembles de R3
Bonjour
Les sous espaces de R3
E = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x + y + z = 0}
F = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x2 + y2 + z2 = 0}
G = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que (x + y + z)( x2 + y2 + z2)= 0}
Sont ils des espaces vectoriels? Si oui en donner une dimention et une base.
voici ce que j'ai fait,
E = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x + y + z = 0}
* Le vecteur nul appartient à l'espace vectoriel E , en effet 0 + 0 + 0 = 0
* Soient X = (x, y, z) et X' = (x', y', z') éléments de E. Alors X+X' = (x+x', y+y', z+z') est aussi élément de E, en effet (x + x') + (y + y') + (z + z') = (x + y + z) + (x' + y' + z')= 0.
* De même pour tout λ appartenant à R on à λX = (λx, λy, λz) élément de E car λx+λy+λz = λ (x + y + z)=0
E est donc un sous espace vectoriel de R3.
F = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x2 + y2 + z2 = 0}
* Le vecteur nul appartient à l'espace vectoriel F , en effet 02 + 02 + 02 = 0
* Soient X = (x2, y2, z2) et X' = (x2', y2', z2') éléments de F. Alors X+X' = (x2+x2', y2+y2', z2+z2') est aussi élément de E, en effet (x2 + x2') + (y2 + y2') + (z2 + z2') = (x2 + y2 + z2 ) + (x2' + y2' + z2' )= 0.
* De même pour tout λ appartenant à R on à λX = (λx2 , λy2 , λz2 ) élément de F car
λ x2+λ y2+2 z2 = λ (x2 + y2 + z2 )=0
F est donc un sous espace vectoriel de R3
G = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que (x + y + z)( x2 + y2 + z2)= 0}
* Le vecteur nul appartient à l'espace vectoriel G , en effet (0 + 0 + 0) (02 + 02 + 02) = 0
* Soient X =(x, y, z) (x2, y2, z2) et X' = (x', y', z')(x2', y2', z2') éléments de G. Alors X+X' = (x+x', y+y', z+z')(x2+x2', y2+y2', z2+z2') est aussi élément de G, en effet d'apres les deux espaces vectoriels précédents on obtient (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) + (x' + y' + z')(x2' + y2' + z2' )= 0.
je ne suis pas sure du G en plus je n'arrives pas à le terminer, de plus j'ai besoin d'aide pous dimention et base je n'y arrive pas...
merci d'avance
* De même pour tout λ appartenant à R on à λX =
je te donne la maniére de calculer une base puis sa dimension pour le cas du sous espace vectoriel E :
E = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x + y + z = 0}
tu résous le système :
x+y+z=0 => x=-y-z
y=y
z=z
Donc si un vecteur quelconque v(x,y,z) appartient a E alors il s'écrit v=(-y-z,y,z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1)
Ainsi on a E qui est engendré par (-1,1,0)(-1,0,1).Tu montre que cette famille est libre, je suppose que tu sais le faire....
Ensuite Ta une base de E qui est B= (-1,1,0)(-1,0,1) donc E=Vect((-1,1,0)(-1,0,1)) et comme E est engendré par 2 vecteurs(qui sont libres entre eux) alors sa dimension est 2.
ha ok merci beaucoup.
je fais la meme chose pour F!
en revanche pour G je coince...
avec vous une idée?
merci
F = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x2 + y2 + z2 = 0} n'est pas un sous espace vectoriel. car x2 y2 et z2 sont des variable non définie indépendante du paramètre x y z definie dans R3...(quel est l'intérêt de refaire la même chose......)
donc je me suis trompée pour F?
je dis simplement F n'est pas un sous espace vectoriel. car x2 y2 et z2 sont des variable non définie indépendante du paramètre x y z definie dans R3?
je dis pas le vecteur nul appartient pas etc etc???
mince 
que dois je répondre à la question quant a F alors svp?
c'est un sous espace ou non et pourquoi ? comment le prouver et si oui quel est la suite du raisonnement, base dimention?
merci
bonjour
oui mais je ne vois pas la suite,
je ne comprends pas si je dois montrer les 3 points pour prouver que F n'est pas un E-vectoriel ou si il y à une autre methode je suis perdue
merci
F EST un EV sur R3 ou sev c'est dit au-dessus
F est réduit au vecteur nul de R3 vect 0=( 0;0;0) de R3
xcuse me Camélia mais ça fait plusieurs fois qu'on répond à cette question ...Nous avons dit ensemble EST !!
sacré zaza va !!!
d'accord, je suis vraiment désolée mais j'ai du mal avec ca ...
donc je répond à la question en disant
F = {(x,y,z) tq x2 + y2 + z2 = 0 alors F {(0,0,0)}
C'est donc un sous-espace vectoriel de dimension 0 de base vide.
?
merci beaucoup
merci !!
corcernant G , plus haut dans la conversation nevada à dit "G=E c'est tout c'est donc un sev"
je ne me préoccupe pas de x2 + y2 + z2 ?
la dimention et la base dont donc identiques à celles de E?
ha ok !
merci encore grace à vous et colèques exo terminé alors que je bataillais depuis des heures!
merci merci
on écrit dimension zaza !!! colèques c'est quoi dans ton message ???
Tu écris comme E est nul peu importe l'autre facteur !!! là il y a quelque chose que tu n'a pas compris je pense
E est un sev donc l'autre facteur ????
Même moi louisa59 je peux faire des bêtises en écriture ( sachons rire au nez de la malchance ) à la différence près que si je me relis je le vois et de plus n'ai plus d'examen à passer Dieu soit loué !
Ma meilleure matière a toujours été l'anglais eh oui, ayant de la famille et des amis aux States, mais ceci est une longue histoire , d'où mon pseudo .
problème de clavier nevada désolé.
un produit est nul si l'un des facteurs est nul, ainsi comme E est un sev (x+y+z)=0
G=E
zaza as-tu pigé ( je verse là dans le langage du peuple )pourquoi tu as écrit des bêtises pour F et G ?
de plus x+y+z=0 est l'équation du sev ce n'est pas un sev tu saisis la nuance là ?
F = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x2 + y2 + z2 = 0}
F = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que x2 + y2 + z2 = 0} alors F {(0,0,0)}
C'est donc un sous-espace vectoriel de dimension 0 de base vide.
G = {(x, y, z) appartenant à R3 tels que (x + y + z)( x2 + y2 + z2)= 0}
Un produit de facteurs est nul quand l'un au moins des facteurs est nul, or on à prouvé que (x+y+z) =0
donc G=E.
voici ma rédaction; je vous laisse corriger
Bon !
la bonne écriture serait par ex
soit U=(x;y;z) un élément de F donc x²+y²+z²=0 OR une somme de carrés ( donc de nombres tous positifs) est nulle si et seulement si chaque carré est nul donc x=0 et y=0 et z= 0 donc U est le vecteur nul de F
DONC F= {(0;0;0)} on a un sev trivial ( les sev triviaux de E =ev sont le vecteur nul en tant que singleton ( ensemble à un seul élément ) et E lui-même <=== ça c'est pour ta culture . La dimension est 0 pas de base .
Quant à G
soit U=(x;y;z) un élément de G alors
on a (x+y+z)(x²+y²+z²)=0 donc x+y+z=0 donc on retrouve E qui est donc inclus dans G ou x²+y²+z²=0 on retrouve F qui est inclus dans G
donc comme l'écrit la créature du Bon Dieu répondant au pseudo de Camélia G=E
F=E
et dim G= dimE = 2 mais ceci est la suite...
C'est la rigueur de la démonstration , la précision du langage , comme je le précise souvent , on comprend mieux , il faut arriver à écrire les démonstrations ainsi .Believe me !!!
oui j'ai bien compris, mais il est certain que ma rédaction est bancale, vous m'aviez aidé à comprendre l'idée générale mais la rédaction c'est différent...
mdrr zaza quand ta dit x2 +y2 +z2 je pensais pas a x^2.... mais a des constantes encore desolé..c'est pour ca que je t'ai dit que ce n'etait pas un sev.
ha dac!
en fait je suis partie du fait que ce n'etait pas un sev alors je me suis embrouillée!
mais c'est bon maintenant!
merci 
car tu ne signales pas les fautes de ces apprenants qui vont aller dans le quartier des délinquants orthographiques s'ils continuent et de toutes les façons c'est pour leur bien .
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