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Les sous-groupes de (R,+)
Bonsoir à tous , je sais qu'il est très tard mais ce nouveau problème m'obsède :
-J'ai montré que 
a
, a
est un sous-groupe de (,+).
On considère un sous-groupe G de (,+) non réduit à {0} .
1)Soit P=G
+/{0} . Montrer que P admet une borne inférieure a et que a à + .
2)-J'ai montré que aG .
En déduire que a
G .
3)Soit xG . Justifier l'existence d'un entier relatif k tel que ka
x<ka+a et montrer que x-kaG .
Avec tout ça , je peux affirmer que G=a . Et en supposant que a=0 , je devrais montrer que G est dense dans .
En laissant la fin de côté pour l'instant , j'ai beaucoup de problème pour la 1) , 2) et 3) .
Bon courage!
Bonjour,
la 1 est triviale : P est une partie minorée (par 0) de R, donc admet une borne inf a. Tout x de P est positif ou nul, donc la borne inf de P l'est aussi. 
2) Tu as déjà montré que a était dans G?Si oui, comment?
Je te demandais ça car cette question n'est pas évidente, je voulais être sûr que tu avais trouvé la réponse.
En fait la fin de la 2 est triviale, si a est dans G, alors tous les multiples entiers de a sont dans G, par définition même d'un groupe (voir topic où Camélia et moi t'avions répondu, avec une petite récurrence à la clé pour les multiplies de a positifs, et un passage à l'opposé pour les multiples négatifs).
Tu es vraiment sûr et certain de ta réponse au début de la 2? Je suis surpris que ce soit la seule question que tu aies trouvée, alors que c'est l'une des plus difficiles de l'exercice!
Dans ce cas, il suffit de considérer pour k la partie entière de x/a .
J'imagine que le x a été choisi dans P, et pas seulement dans G?
Eh bien si a est nul, l'encadrement à obtenir s'écrit 0 < = x < a...Plut^to gênant, n'est-ce pas?!
D'autant plus que l'on n'obtient un groupe de la forme a.Z que si a est non nul (résultat classique)...or on veut te faire démontrer dans cette question que G = a.Z.
Donc l'énoncé le précisait bien?
Et, encore une fois, es-tu sûr de ne pas vouloir me soumettre ta démonstration du fait que a appartient bien à G?
Je la posterai demain en fin d'aprés-midi vers 18h . Mais je t'assure que mon énoncé ne précise pas a non nul . A demain Tigweg et merci .
D'accord med112, mais dans ce cas ton énoncé n'est pas rigoureux du tout, je suis très surpris! 
Avec plaisir, et bonne nuit! 
Salut Tigweg , j'espère que t'as bien dormi ;D . Je me suis renseigné auprès des autres gens de ma classe et il se trouve , comme quelqu'un l'avait pressenti , que j'ai mal recopié mon énoncé car dans la 2) on suppose a>0 .
Sinon pour ma méthode par l'absurde : je suppose que a n'appartient pas à G et j'arrive à G
]0,a[
, ce qui est absurde car a est la borne inf de P .
Mais je suis toujours bloqué à la 3) .
Il me semble qu'on t'a répondu: k est la partie entière de x/a (a non nul bien sur)
Je signale que si a=0, on peut très bien avoir G=
Oui mais Tigweg tu m'as écrit pour xG ou xP ? Cette fois-ci , je suis sûr que la seule indication est xG .
bonsoir! k=E(x/a) ça marche très bien quel que soit x, nul ou non, positif ou négatif (dans G ou dans P quoi)
Bonsoir à tous!
Oui tout-à-fait, ça marche bien pour tout x dans G, même si en général on raisonne jusqu'à la fin (ou presque) de cette démonstration dans P.
Merci Camélia, je trouve aussi! 
au fait, comme tu as l'air d'aimer les dénombrements hors sentier battu, il y a un exercice amusant titré "le grand tournoi de pile ou face" dans la catégorie "supérieur"...
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