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Niveau terminale
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Limite à l'infini

Posté par
Moussa16 03-04-22 à 12:32

Salut à tous et à toutes !
Je sollicite votre aide pour trouver la limite à moins(-) l'infini de la fonction suivante :

f(x)=x^2ln((x-1)÷x)) +x

Merci d'avance !

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 03-04-22 à 13:51

salut

f(x) = x^2 \ln \dfrac {x - 1} x + x = -x \dfrac{ \ln \left( 1 - \dfrac 1 x \right) - \ln 1} {-\dfrac 1 x} + x .... mais on a encore une FI

ça va être difficile en terminale ...

pas de questions auparavant ?

Posté par
Mateo_13re : Limite à l'infini 03-04-22 à 13:52

Bonjour,

on factorise par le terme dominant en -\infty : f(x)=x^2ln \left( \dfrac{x-1}{x} \right) +x = x^2 \left[ ln \left( 1-\dfrac{1}{x} \right) +\dfrac{1}{x} \right]

Il faut que tu essaie cette forme, et si cela ne marche pas, factorise par x au lieu de x^2, et essaie de faire apparaître des propriétés de limites connues sur la fonction ln qui résolvent les formes indéterminées.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
Mateo_13re : Limite à l'infini 03-04-22 à 13:54

Salut Carpe Diem,

c'est ce à quoi je pensais.

Amicalement,
--
Mateo.

Posté par
flightre : Limite à l'infini 03-04-22 à 14:14

salut

un développement limité de ln(1-X) en posant X = 1/x  donne immédiatement le résultat

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 03-04-22 à 14:27

flight : un développement limité en terminale ?

Mateo_13 : oui comme moi mais ... tout autant amicalement

Posté par
malou Webmasterre : Limite à l'infini 03-04-22 à 14:47

Bonjour à tous

Moussa16 va devoir peut-être nous préciser les outils dont il dispose, car il a écrit dans son profil qu'il ne fait pas ses études en France...il en sait peut-être plus qu'un de nos élèves de terminale

Posté par
alb12re : Limite à l'infini 03-04-22 à 16:07

salut,
on peut commencer par demontrer le resultat suivant:
si X<0 alors 0<ln(1-X)+X+X^2/2<-X^3

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 03-04-22 à 23:03

Bonsoir à tous et à toutes ! Merci bien pour l'intervention ! Au fait , d'après le graphe sur GeoGebra la limite est -1/2 ! Or je ne vois absolument pas d'où proviendrait cette limite ! J'ai essayé de poser comme dit ci haut en vain !
Merci !

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 03-04-22 à 23:11

Salut ! Je fait la spécialité !
C'est la recherche de l'asymptote de la fonction suivante :
F(x)=x^2ln((x-1)÷x)
On a trouver la pente qui est -1 !

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 03-04-22 à 23:28

Voici la courbe!

Limite à l\'infini

Posté par
alb12re : Limite à l'infini 04-04-22 à 09:52

pourrais-tu donner l'enonce en entier ?

Posté par
lakere : Limite à l'infini 04-04-22 à 11:26

Bonjour,

Si je peux me permettre :

J'ai compris qu'il s'agissait d'étudier la fonctionf sur ]-\infty,0[\cup]1,+\infty[ définie par :

  f(x)=x^2\ln\left(\dfrac{x-1}{x}\right)

La courbe correspondante admet une asymptote oblique à l'infini.

  en -\infty, son coefficient directeur est donné par \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-1 (Moussa16a fait ce calcul).

Pour l'ordonnée à l'origine, il faut calculer \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)+x (c'est le calcul ou Moussa16 a des difficultés).

Le graphe donné est celui de la fonction g définie par g(x)=f(x)+x et où Moussa16 a constaté que la limite valait -\dfrac{1}{2}

Évidemment, en terminale, même à l'étranger, la question reste entière. Des encadrements avec des polynômes parachutés me semble un peu "tordu".

Posté par
larrechre : Limite à l'infini 04-04-22 à 11:40

Bonjour,

Il y aurait bien la règle de L'Hôpital, mais est-elle connue en Terminale?  J'en doute.

Posté par
lakere : Limite à l'infini 04-04-22 à 11:59

Bonjour larrech,

C'est la bonne question à poser à Moussa16 :

Connait-il la règle de L'Hôpital ?

Posté par
larrechre : Limite à l'infini 04-04-22 à 12:01

Bonjour lake

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 04-04-22 à 18:36

sachant que pour x > 1  :    \ln x - \ln (x - 1)= \int_{x - 1}^x \dfrac 1 x dx $ donc $ \dfrac1 x \le \ln x - \ln (x - 1) \le \dfrac 1 {x - 1}

alors pour x "très" négatif !!

f(x) + x = x^2 \left(\ln (-x + 1) - \ln (-x) + \dfrac 1 x\right)

donc \dfrac 1 {1 - x} \le \ln(-x + 1) - \ln (-x) \le \dfrac 1 {-x}

donc \dfrac {x^2} {x(1 - x)} \le f(x) + x \le 0

on en déduit que l'ordonnée à l'origine b vérifie -1 \le b \le 0

mais bon je ne vois pas comment obtenir -1/2 avec des outils de terminale

PS : ici je n'utilise que la propriété : toute fonction est primitive de sa dérivée et un encadrement d'intégrale "classique"  en terminale

PPS : merci à lake de nous avoir permis de comprendre ce qui était demandé au travers de cette limite

PPPS : Moussa16 : encore une fois il serait bien de nous donner un énoncé complet et précis pour comprendre le contexte de la question !!

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 04-04-22 à 21:59

La règle de l'hopital je ne pense pas qu'il est dans notre programme ! Mais si toute fois cela permettrait de trouver la reponse n'hesitez pas l'utiliser !
Ici on utile géneralement le théorème des gendarmes !
lake Merci bien ! C'est exactement ça !

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 04-04-22 à 22:02

Salut ! Merci bien et excusez : je n'ai pas accès à tout temps un appareil !
La règle de l'hopital je ne pense pas qu'il est dans notre programme ! Mais si toute fois cela permettrait de trouver la reponse n'hesitez pas l'utiliser !
Ici on utile géneralement le théorème des gendarmes !
lake Merci bien ! C'est exactement ça !

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 04-04-22 à 22:06

carpediem Il s'agit d'un problème et on demande d'étudier  la branche à moins  l'infini .

Posté par
lakere : Limite à l'infini 04-04-22 à 22:18

Bonsoir,

Une solution avec la règle de  L'Hôpital puisque tu y tiens :

   f(x)=x^2\ln\left(\dfrac{x-1}{x}\right)

En posant x=-\dfrac{1}{h} :

\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)+x)=\lim\limits_{\stackrel{h\to 0}{h>0}}\dfrac{\ln(1+h)-h}{h^2}

Puis la règle de L'Hôpital en question.

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 04-04-22 à 23:03

lake Pouvez vous me donner la règle de l'hôpital ?

Posté par
alb12re : Limite à l'infini 04-04-22 à 23:03

"Ici on utilise géneralement le théorème des gendarmes ! "
c'est la proposition que j'ai faite.
Es tu sur qu'il n'y a pas une question juste avant qui indiquerait la marche à suivre ?
Fais nous part de la correction de ton professeur

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 04-04-22 à 23:07

alb12Ok merci bien pour votre aide !

Posté par
lakere : Limite à l'infini 05-04-22 à 00:37

Citation :
Pouvez vous me donner la règle de l'hôpital ?


\lim\limits_{\stackrel{h\to 0}{h>0}}\dfrac{\ln(1+h)-h}{h^2}

C'est une forme indéterminée de la forme \dfrac{0}{0}.

Tu dérives le numérateur et tu dérives le dénominateur.
Tu effectues le rapport (avec une simplification par h).
C'est fini.

Mais si tu ne connais pas, ça n'a aucun intérêt ...

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 05-04-22 à 08:47

Moussa16 @ 04-04-2022 à 22:06

carpediem Il s'agit d'un problème et on demande d'étudier  la branche à moins  l'infini .
c'est bien ce que je fais !!!

quand on sait qu'il y aune asymptote oblique d'équation y = ax + b

1/ on peut prouver (en term) que a = -1 (ce que tu nous as dit)

2/ on déterminer b ... et c'est ici que se pose le pb  ...

en utilisant des outils de term je prouve que -1 < b < 0 mais je ne vois pas comment on peut faire sans utiliser un outil plus puissant genre la règle de l'Hospital" ... ou un développement limité ...

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 05-04-22 à 23:25

Salut ! Merci bien ! Cette formule est hors programme ici !
Je vous remercie énormement !

Posté par
alb12re : Limite à l'infini 06-04-22 à 17:08

J'ai rencontre ce type d'exercice 5 ou 6 fois sur ce forum.
Sans reponse satisfaisante.

Moussa16
S'agit-il d'un sujet de bac ? marocain ? autre ? quelle annee ?
Ce serait vraiment sympa de nous communiquer la correction de ton professeur

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 08-04-22 à 00:45

Salut à tous et à routes !
alb12 Ok pas de souci !

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 08-04-22 à 18:33

on peut appliquer la règle de l'Hospital sans changement de variable comme lake l'a proposé

f(x) = x^2 \ln \dfrac {x - 1} x + x = \dfrac{ \ln \left( 1 - \dfrac 1 x \right) + \dfrac 1 x} {\dfrac 1 {x^2}} = \dfrac {u(x)} {v(x)}

u'(x) = \dfrac x {x - 1} \dfrac 1 {x^2} - \dfrac 1 {x^2} = \dfrac 1 {(x - 1)x^2}

v'(x) = - \dfrac 2 {x^3}

il est alors clair que \lim_{x \to - \infty} \dfrac {u'(x)}{v'(x)} = - \dfrac 1 2

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 09-04-22 à 10:42

Salut !
carpediem merci bien !
Notre professeur dit qu'on peut calculer la limite sans passer par la ! Pour le moment il nous a pas montrer comment !

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 09-04-22 à 13:00

ben j'espère que tu nous montreras car je serai heureux de le voir !!

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 09-04-22 à 17:26

SALUT ! J'AI TROUVE LE SUJET EN COMPLET ; J'ESSAIE DE VOUS LE PARTAGER MAIS IL EST VOLUMINEUX § CEST UN SUJET SENEGALAIS DE 2017

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 09-04-22 à 17:41

ou alors mets nous un lien et je pense que la "direction" l'autorisera et même peut-être rapatriera le sujet si c'est un PDF ...

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 09-04-22 à 22:36

Ok pas de souci !

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 09-04-22 à 22:40

Lien :

* Modération > lien facilité *

pdf
PDF - 827 Ko

malou edit > ** le sujet complet rapatrié **

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 09-04-22 à 23:39

où est Thies ?

et quel est le programme en TS là-bas ?

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 10-04-22 à 00:24

Thiès est une ville du Sénégal ! Je vous en verrai le site où j'ai trouvé le fichier !

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 10-04-22 à 00:25

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 10-04-22 à 00:26

Merci énormément pour votre aide !

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 10-04-22 à 09:18

merci les modo

ouais un sujet d'un sacré niveau ... que n'ont plus nos élèves ... simplement déjà par le programme ...

je ne vois toujours pas comment on peut trouver "simplement" ...

Posté par
carpediemre : Limite à l'infini 10-04-22 à 09:20

ou alors comme le proposait

flight @ 03-04-2022 à 14:14

un développement limité de ln(1-X) en posant X = 1/x  donne immédiatement le résultat

Posté par
alb12re : Limite à l'infini 10-04-22 à 13:18

la limite de (ln(1+x)-x)/x^2 en 0 est peut etre dans le cours de Moussa16 ? ou vu en exercice (exercice 7)

Posté par
malou Webmasterre : Limite à l'infini 10-04-22 à 13:42

ou ici Des limites de forme indéterminée 0/0 pour s'entraîner puis approfondir

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 10-04-22 à 14:54

Salut à tous et à toutes !
malou Merci bien ! Maintenant , j'ai de nouveaux outils pour attaquer les limites !
Vraiment merci pour votre aide !

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 10-04-22 à 15:03

alb12 Oui !

Posté par
alb12re : Limite à l'infini 10-04-22 à 15:17

cette limite est-elle dans le cours ou seulement en exercice ?

Posté par
Moussa16re : Limite à l'infini 10-04-22 à 18:40

salut ! c'est dans notre livre pedagogique "ciam terminale sm"

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite à l'infini 10-04-22 à 19:03

Bonsoir,
Je me permets une remarque pour la limite du quotient (cos(x)-1)/x2 quand x tend vers 0.
Elle figure dans Des limites de forme indéterminée 0/0 pour s'entraîner puis approfondir
Je pense qu'on pourrait y améliorer le corrigé :
Y est utilisé un changement de variable alors qu'en multipliant numérateur et dénominateur par cos(x)+1 il suffit d'utiliser la limite de sin(x)/x
En tous cas, bravo malou d'avoir trouvé dans les ressources de l'île ce qui était cherché dans ce sujet depuis une semaine !

Posté par
larrechre : Limite à l'infini 10-04-22 à 19:24

Bonjour,

Noter une coquille dans la démonstration (E) de la limite cherchée ici, à la fin, il faut lire L_5=(-1+2L_{\red{5}})/4 me semble-t-il.

Je tire respectueusement mon chapeau à l'élève de Terminale qui trouvera tout seul la démarche indiquée dans le corrigé fourni par malou

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