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Limite d'une suite

Posté par
GregStud 12-01-10 à 12:20

Bonjour j'ai un soucis dans la résolution de l'exercice suivant :
3.1 Chacune des suites ci-dessous est convergente
a)Trouver leur limite.
b) Démontrer en utilisant la définition, que le réel trouvé au point précédent est bien la limite de la suite.
c) A partir de quel terme sN commet-on une erreur inférieure à e=1/10 (e=1/100) si on approxime un terme de la suite par sa limite?
1) S_n= 1/n
a)lim 1/n = 0
b)|1/n-0|<e, 1/n<e =>e>0
c)c'est à cette question ci que j'ai des soucis
Merci d'avance de votre aide!

Posté par
Rumbafanre : Limite d'une suite 12-01-10 à 13:26

Bonjour,

Tu as donné la réponse...

Comme la suite est décroissante, tu cherches :
N tel que >0;n>=N on ait ABS(1/n  -  0) <
1/n  <  
n > 1/
N = INT(1/)+1

Posté par
cailloux Correcteurre : Limite d'une suite 12-01-10 à 13:29

Bonjour,

b)Pour que \frac{1}{n}<\varepsilon avec \varepsilon>0, il suffit de choisir n tel que n>\frac{1}{\varepsilon}

Ou bien:

\forall \varepsilon>0,\;\;\exists n_0=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right] \text{\,tel que } n>n_0\Rightarrow \left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon

c) b) répond à la question...

Posté par
GregStudre : Limite d'une suite 12-01-10 à 14:02

Parfait,m erci à tous les deux de votre rapidité!
)

Posté par
GregStudre : Limite d'une suite 12-01-10 à 15:49

j'ai un soucis lorsque S_n = (2n-1)/(3n+2)
je trouve 2/3 comme limite donc je pose :
|(2n-1)/(3n+2)-(2/3)|<e
|[(2n-1)*3-2*(3n+2)]/[(3n+2)*3]|<e
|[6n-3-6n-4]/[9n+6]|<e
|[-7]/[(3n+2)*3]|<e
(7/3)*|(1/(3n+2)|<e
[7/(9e)]-(2/3)<n
et là je me perd à nouveau, quel n_0 utiliser?

Posté par
GregStudre : Limite d'une suite 12-01-10 à 16:09

lorsque je remplace e par 1/10 je trouve 73/9<n et la réponse de mon livre est n=8...

Posté par
GregStudre : Limite d'une suite 12-01-10 à 16:16

et en utilisant le même N qu'au début...

Posté par
cailloux Correcteurre : Limite d'une suite 12-01-10 à 18:26

n>\frac{7}{9\varepsilon}-\frac{2}{3}

Pour \varepsilon =\frac{1}{10}:

\frac{7}{9\varepsilon}-\frac{2}{3}=\frac{70}{9}-\frac{2}{3}=\frac{64}{9}

et n_0=8 est le premier entier supérieur à \frac{64}{9}

Posté par
GregStudre : Limite d'une suite 13-01-10 à 11:33

et pour la suite
S_n : n²/[(n^4)+1]
je trouve la limite 0
ensuite je pose
n²/[(n^4)+1]<1/n
1/[(n^4)+1]<1/n³<1/n...
1/[(n^4)+1]<e
(1/e)-1<(n^4)
pour e=(1/10):
10-1<(n^4)
9<(n^4)
1,73<n
et le premier entier supérieur à 1,73 c'est 2 (4 d'après le livre)
pour e=(1/100)
100-1<(n^4)
99<(n^4)
3,154<n
donc j'ai 4 comme premier entier supérieur (10 d'après le livre)
je ne vois pas où je me trompe...
merci d'avance d'encore m'aider

Posté par
cailloux Correcteurre : Limite d'une suite 13-01-10 à 11:52

\frac{n^2}{n^4+1}<\varepsilon

\varepsilon n^4-n^2+\varepsilon >0

C' est une équation bicarrée; on pose N=n^2:

\varepsilon N^2-N^2+\varepsilon >0

\Delta =1-4\varepsilon ^2

on suppose 0<\varepsilon <\frac{1}{2}

il suffit donc de choisir n tel que:

n^2>\frac{1+\sqrt{1-4\varepsilon ^2}}{2\varepsilon}

et n_0=\left[\frac{1+\sqrt{1-4\varepsilon ^2}}{2\varepsilon}\right]+1

où [] est la fonction partie entière.

Pour \varepsilon = \frac{1}{10}, on obtient [3.14...] et n_0=4

Pour \varepsilon = \frac{1}{100}, on obtient [9.99...] et n_0=10



Posté par
cailloux Correcteurre : Limite d'une suite 13-01-10 à 11:54

Un oubli:

et n_0=\left[\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-4\varepsilon ^2}}{2\varepsilon}}\right]+1

Posté par
GregStudre : Limite d'une suite 13-01-10 à 12:15

vu sous cet angle là...
et [(-1)^n]/n?

Posté par
cailloux Correcteurre : Limite d'une suite 13-01-10 à 12:24

Sa limite est 0. (avec l' encadrement: -\frac{1}{n}\leq u_n\leq +\frac{1}{n})

|u_n|<\varepsilon

\frac{1}{n}<\varepsilon

n>\frac{1}{\varepsilon} ...

Posté par
GregStudre : Limite d'une suite 13-01-10 à 13:02

Un tout, tout, tout grand merci cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : Limite d'une suite 13-01-10 à 13:09

De rien GregStud


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