Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Limites de fonctionsTopics traitant de Limites de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

limite en un point a (1)

Posté par
florian2 14-08-07 à 09:10

bonjour,
il s'agit de determiner la limite de f en a=1:
f(x)=tan(x)/x
quelle formule appliquer?
je ne comprends pas tres bien la consigne
merci
ps:je sais juste que tanx=f'(x0)(x-x0)+f(x0)

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:18

bonjour,
il s'agit de determiner la limite de f en a=0:
f(x)=tan(x)/x
quelle formule appliquer?
je ne comprends pas tres bien la consigne
merci
ps:je sais juste que tanx=f'(x0)(x-x0)+f(x0)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:24

f(x)=tan(x)/x

f(x)= [sin(x)/cos(x)]/x

f(x)= [sin(x)/x]/cos(x)

lim(x-> 0) f(x) = lim(x-> 0) [sin(x)/x]/cos(x) = 1/1 = 1
-----
Sauf distraction.  

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:32

non il ne s'agit pas de calculer la limite de f(x) si x=0
la limite de f en a=0

Posté par
xtasxre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:34

Ou bien une autre méthode : tan(x)/x est le taux d'accroissement en 0 de la fonction tan, donc la limite est tan'(0) = 1 + tan(0)² = 1

Posté par
xtasxre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:35

Posté en même temps.
On a répondu à ce que tu demandes pourtant...

il ne s'agit pas de calculer la limite de f(x) si x=0
la limite de f en a=0 -> je ne vois pas la différence...

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:46

lorsqu'on demande de determiner la limite en a de f(x),qu'est ce que cela signifie concretement?
merci

Posté par
critoure : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:54

La limite de f en a  = la limite de f(x) quand x tend vers a. Deux façons de dire la même chose
Dans ton cas, la limite de f en a=0 est la limite vers laquelle le nombre f(x) tend lorsque le nombre x tend vers 0.

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 09:59

par exemple si je calcule la limite en a=1 de f(x)=[((x+1))-(2)]/(x-1):je calcule d'abord la quantité conjugué def(x),ensuite j'applique la propriété:
lim (h--->0) [f(x0+h)-f(x0)]/h
ou lim (x--->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0) ?

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 10:31

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 10:47

florian2

calculer
lim (h--->0) [f(x0+h)-f(x0)]/h
ou lim (x--->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0) ?

revient à déterminer la dérivée en xo de f(x).

Ce n'est pas la même chose que de calculer la limite de f(x) pour x -> xo.

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 10:52

il faut donc simplement utiliser la quantité conjuguée...
ces 2 proporiétés sont donc inutiles dans le cas present?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:00

Lorsqu'en calculant une limite, on arrive à un forme indéterminée (par exemple 0/0 ou oo/oo ou 0*oo ou oo-oo), il existe diverses techniques pour lever l'indétermination.
"La quantité conjuguée" en est une mais il en existe bien d'autres.
Suivant le cas, il faut adapter la technique.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:06

Une petite fiche...


Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit

nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement

d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\displaystyle\frac{\cos{x^2}-1}{x^2}=\frac{\cos{x^2}-\cos 0}{x^2-0}\to \cos '0=-\sin \\ \\ 0=0

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty,

3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt \\ \\ {x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1,

3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}[ \\ \\ /tex] \\ \\ <b>(5)</b> utiliser les <b>formules trigonométriques</b> \\ \\ Quand [tex]3$x\to 0,

3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin \\ \\ x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to \\ \\ +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0, 3$\lim_{x\to 0}\ln\frac{1+x}{x}=1,

3$\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty, 3$\lim_{x\to +\infty}xe^{-x}=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hôpital
Voir par exemple ici : https://www.ilemaths.net/sujet-limite-suite-du-topic-poste-par-estelle-83944.html#msg1178898

Nicolas

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:30

f(x)=[(x+1)-2]/(x-1)
f(x)=(x+1)-

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:31

non je reprends

Posté par
cailloux Correcteurre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:31

Bonjour,

Je reviens sur ta dernière limite: 3$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}

On peut utiliser au moins 2 des méthodes proposées par Nicolas_75 (que je salue ):

La quantité conjuguée:

3$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})}{(x-1)(\sqrt{x+1+\sqrt{2}})}=\frac{x+1-2}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} pour 3$x\not=1

En passant à la limite en 1:3$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Reconnaître un taux de variation:

3$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} avec 3$f(x)=\sqrt{x+1} et 3$a=1

Cette limite est donc 3$f'(1)

3$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}} et 3$f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}

Posté par
cailloux Correcteurre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:36

Il y a une erreur de frappe dans la partie quantité conjuguée...

A toi de la trouver Florian

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:38

on aboutit sur la forme suivante,une fois qu'on a multiplié le numerateur et le denominateur par la quantité conjuguée:f(x)=(x-1)/[(x-1)((x+1)+2)=1/[(x+1)+2]
quelle autre technique dois je employer?
je peux conclure disant que lim 1/V(x+1)=0
par consequent lim f(x)=1/V2

Posté par
cailloux Correcteurre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:40

Ou vas tu chercher que la limite en 1 de 3$\frac{1}{\sqrt{x+1}} est 0 ?

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:48

c'est [(x+1) - (2]*[(x+1) +(2)]/(x-1)*((x-1)+2).
en fait tu as mis un - au lieu d'un +.

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:50

la limite de l'inverse de la racine a une limite egale à 0
non?

Posté par
cailloux Correcteurre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:53

Oui pour ta dernière réponse (11h48)

Tu as à calculer 3$\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}

on a bien 3$\lim_{x\to 1}\sqrt{x+1}=2 et le dénominateur tend donc vers 3$2\sqrt{2} et l' ensemble vers 3$\frac{1}{2\sqrt{2}} non ?

Posté par
cailloux Correcteurre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:55

euh 3$\lim_{x\to 1}\sqrt{x+1}=\sqrt{2}

Posté par
florian2re : limite en un point a (1) 14-08-07 à 11:59

ca y'est j'ai compris d'ou venait mon erreur.
par contre je prefere passer par la quantité conjuguée que par le taux de variation.
merci à tous

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite en un point a (1) 14-08-07 à 13:07

Pour ma toute petite part, je t'en prie.
Salut cailloux !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !