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Niveau Maths sup
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linéairement indépendant

Posté par
Supco 18-05-08 à 12:33

j'ai trois matrice

A = 0  0  1
    1  0  -1
    0  0  1

A²= 1  1  0
    0 -1  0
    1  1  0

A^3= 1  1  0
     -1 0  1
     1  0  0

Je voulais savoir comment on montre qu'ils sont linéairement indépendants ?
    

Posté par
gui_toure : linéairement indépendant 18-05-08 à 12:36

Bonjour quand même.

Prends 3 scalaires 3$\rm \lambda_1 , 3$\rm \lambda_2 et 3$\rm \lambda_3, suppose que 3$\rm \lambda_1.A+\lambda_2.A^2+\lambda_3.A^3=0, et montre que 3$\rm \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0

sauf erreur.

Posté par
Supcore 18-05-08 à 12:39

oui mais j'arrive à

x +2 y + 2z=0
-y=0
2x+2y+z=0

C'est juste ?

Posté par
gui_toure : linéairement indépendant 18-05-08 à 12:45

3$\rm%20\lambda_1.A+\lambda_2.A^2+\lambda_3.A^3=0

3$\rm\(\array{0&0&\lambda_1\\\lambda_1&0&-\lambda_1\\0&0&\lambda_1}\)+\(\array{\lambda_2&\lambda_2&0\\0&-\lambda_2&0\\\lambda_2&\lambda_2&0}\)+\(\array{\lambda_3&\lambda_3&0\\-\lambda_3&0&\lambda_3\\\lambda_3&0&0}\)=\(\array{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}\)

3$\rm \(\array{\lambda_2+\lambda_3&\lambda_2+\lambda_3&\lambda_1\\\lambda_1-\lambda_3&-\lambda_2&-\lambda_1+\lambda_3\\\lambda_2+\lambda_3&\lambda_2&\lambda_1}\)=\(\array{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}\)

donne clairement 3$\rm \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 et la famille 3$\rm (A,A^2,A^3) est libre dans 3$\mathcal{M}\rm{_3({\bb R})

Posté par
Supcore 18-05-08 à 13:46

merci

Posté par
Supcore 18-05-08 à 13:51

Soit  l'ensemble E des matrices M de M3(R)

Justifier que E est un sous-espace vectoriel , pour la linéarité j'ai utilisé que A,A²,A^3 sont linéairement indépendant c'est juste ?

et je voulais savoir c'est quoi la base et sa dimension

Posté par
gui_toure : linéairement indépendant 18-05-08 à 13:56

3$\rm E=\mathcal{M}\rm{_3({\bb%20R}) ? et tu dois montrer que E est un sev de quel autre esp vect ?

Linéarité ? Avec un sous espace vectoriel ?

Pour montrer que E est stable par addition, tu dois montrer que : 3$\rm\forall (A,B)\in E^2,\;A+B\in E

Posté par
Supcore 18-05-08 à 14:28

je l'ai fait mais pour prouver la linéarité j'utilise la question précedente

Posté par
gui_toure : linéairement indépendant 18-05-08 à 14:29

Les deux exercices ont un rapport ?

Posté par
Supcore 18-05-08 à 15:38

oui ils ont un rapport

Posté par
gui_toure : linéairement indépendant 18-05-08 à 15:43

Ok ba on reprend

3$\rm%20E=\mathcal{M}\rm{_3({\bb%20R}) ok.. Et tu veux montrer que E est un sous espace vect, ok, mais de quel esp vect ??

F est un SEV de E si

¤ F inclus dans E

¤ 3$\rm 0_E\in F

¤ 3$\rm\forall%20(u,v)\in%20F^2,\;u+v\in%20F

¤ 3$\rm\forall u\in%20F,\;\forall \lambda\in{\bb K},\;\;(\lambda.u)\in%20F

Posté par
Supcore : linéairement indépendant 18-05-08 à 21:44

ca je suis arrivé à faire mais pas montré la troisième partie de la démo de sous espace verctoriel pour montrer la linéarité


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