Bonsoir,

c'est (cos x)^5 si tu developpes.

Moivre



Skops

Salut Cauchy et Youpi

Skops

salut tout le monde !

Salut Youpi et Skops

donc si j'en suis ce que vous me dites et que je veux exprimer cos(5x) en fonction de cos(x) et sin(x) je fais par moivre :

(cos x + i sin x)^5 =

cos(5x) + 5cos(4x)*sin(x) + 10cos(3x)*sin(2x) + 10cos(2x)*sin(3x)+5cos(x)*sin(4x) + sin(5x) , d'après ce que vous m'avez dit on met pas les 5x...en puissance n'est ce pas?

merci

Bonjour,

Tout cela ne va pas.
Tu dois trouver des (cos(x))^4, etc...
Et où sont passés les i ?

zut j'ai oublié les i , pas grave je rectifie :

cos(5x) + 5cos(4x)* i sin(x) + 10cos(3x)* i sin(2x) + 10cos(2x)* isin(3x)+5cos(x)* i sin(4x) + i sin(5x)

Je ne fais qu'appliquer ce que vous m'avez dit , vous me dites de pas mettre 5x et le reste en exposant donc je ne le mets pas

Non, non.
Personne ne t'a dit cela.

a) i² = -1
i^3 = -i
etc...

b) cos(4x) n'est pas égal à (cos x)^4 !!!!

c) En développant (a+b)^5, on obtient des a^4
Ici, a = cos x, donc a^4 = (cos (x)^4 !

Nicolas

bon alors je reprends , binome de newtion pour exposant 5 :

a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5

cosx^5 + 5cosx^4 * i sinx + ensuite je ne sais pas continuer car je sais pas quoi faire de i sin x , qu'est ce qu'on élève à la puissance , le i ou le x ou les 2 ?

b = i*sinx
b² = (i*sinx)² = i² * (sinx)² = -(sinx)² qui se note aussi -sin²x

oui mais non là çà va pas tu me dis quelquechose de différent , tu me dis que :

a = cos x
a^4 = cos x^4 et non cos^4 x , pourquoi pour le sinus çà serait pas :

b = i sin b
b^4 = sin x^4 comme le cos au lieu de sin^4 x...

Il manquait une parenthèse dans un message précédent.

a = cosx
a² = (cosx)² = cos²x

b = i*sinx
b² = -(sinx)² = -sin²x

Bon alors je reprends je vais bien finir par y arriver :

cos^5 x + 5cos^4 x i sin x +  10cos^3 x * - sin^2 x + 10cos^2 x * -i sin^3 x + 5 cos x sin^4 x + i sin^5 x

là c'est bon je crois?

Ca a l'air.

parfait , mais j'ai pas fini ma linéarisation , comment simplifier tt ceci maintenant car le but c'est bien d'utiliser moivre pour exprimer cos(5x) en fonction de cos(x) et sin(x)...

cos(5x) = Re[cos(5x) + i.sin(5x)]
= Re[e^(i5x)]
= Re[(e^(ix))^5]
= Re[(cosx+i.sinx)^5)]
= Re[...]

euh moi je souhaite simplfier mon expression

Dans ce cas, suis mes indications, et prends la partie réelle de ce que tu as trouvé.
Tu as alors cos(5x) en fonction de cosx et sinx.
Tu peux même l'exprimer en fonction de cosx seul.

alors si je prends la partie réelle j'ai :

cos^5 x + 5cos^4 x + 10cos^3 x * -sin^2 x + 5cosx sin^4 x

çà se simplifie encore ?

La partie réelle n'est pas égale à cela !
Il faut garder tous les termes "sans i" !

là tu as exprimer cos5x en fonction de cos^5 x et non en fonction de cos(x) et sin(x)

c'est ce que j'ai fait , la partie réelle eest bien celle que j'ai dit puis j'abandonne j'en ai assez çà fait 1 semaine que je demande sur 10 sites différents de m'expliquer , on m'explique pas donc tant pis pour les linéarisaions çà me soule , merci bcp d'avoir pris de ton temps pour m'aider .

Je vais te donner la solution.
Attends.

Sois au moins conscient que la partie réelle n'est pas ce que tu dis !
Tu ne peux pas garder 5cos^4 x i sin x : c'est un terme en i.

Partie réelle :

cos^5 x + 10cos^3 x * - sin^2 + 5 cos x sin^4 x

c'est là bonne ?

Oui.

cos(5x) = Re[cos(5x) + i.sin(5x)]
= Re[e^(i5x)]
= Re[(e^(ix))^5]
= Re[(cosx+i.sinx)^5)]
= ...

cos(5x) = Re[cos(5x) + i.sin(5x)]
= Re[e^(i5x)]
= Re[(e^(ix))^5]
= Re[(cosx+i.sinx)^5)]
= ...



= ... on développe ...

Pardon pour la dernière ligne :
cos(5x) = Re[cos(5x) + i.sin(5x)]
= Re[e^(i5x)]
= Re[(e^(ix))^5]
= Re[(cosx+i.sinx)^5)]
= ...



= ... on développe ...

merci j'ai bien compris toutes les étapes mais je dois finaliser , car je n'exprime pas cos5x en fonction de cos(x) et sin(x) mais en fonction de puissances comme tu l'as écrit .
Ta solution est peut être la dernière et on ne simplifie plus après c'est celà?

Il me semble que cela répond bien à la question : cos(5x) en fonction de cos(x)

bien c'est super j'ai avancé dans ma comprhénsion du problème , merci bcp , je vais en refaire une petite pour m'entrainer .

Je t'en prie.

Enfin une petite remarque , mon prof de maths me dit que la linéarisation sert à calculer les intégrales si mes souvenirs sont bons , hors il est plus facile de calculer directement l'intégrale de cos(5x) que de l'expression complexe que tu as trouvé , donc parfois je me demande vraiment à quoi çà sert une linéarisation...

Tu as absolument raison.
Je pense que la linéarisation va justement dans l'autre sens : exprimer (cosx)^5 en fonction de cos(5x) cos(3x) et cos(x)

Remarque.
On pouvait également montrer le résultat ci-dessus avec les formules trigonométriques de base.
Exemple avec sin(5x) :

Linéarisation :

Exemple de linéarisation, en passant par les complexes ou la trigonométrie de base :
https://www.ilemaths.net/sujet-trigo-et-linearisation-43166.html

Oui mais faut connaitre les formules de trigo sur le bout des doigts pour transformer l'expression avec ces formules , en général 99% des élèves ne sont pas capables de le faire , c'est tellement plus simple avec les complexes

Chacun ses goûts...