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trigo et linéarisation

Posté par
letonio 06-08-05 à 11:38

Bonjour tout le monde,
Je ne comprends pas trop la méthode pour linéariser une expression trigonométrique.

sin^5 x= ((e^(ix)-e^(-ix)/2)^5    
= ((cosx +isinx -cosx +isinx)/2)^5
=(isin x)^5= i sin^5 x
D'où mon problème lol

Posté par N_comme_Nul (invité)re : trigo et linéarisation 06-08-05 à 11:40

Salut letonio !

Je pense que tu devrais te concentrer sur un problème à la fois.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : trigo et linéarisation 06-08-05 à 11:44

Déjà, il faut que tu ailles revoir ton cours, la formule d'Euler n'est pas correcte. Corrige-toi.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigo et linéarisation 06-08-05 à 11:44

Et tu n'as pas des exemples de linéarisation dans ton cours ou dans les exercices d'application ?

Posté par
letoniore : trigo et linéarisation 06-08-05 à 11:45

Bein pour l'autre c'est rêglé...
Et il faut bien que je fasse quelque chose quand je suis bloqué sur un exercice.

Posté par
letoniore : trigo et linéarisation 06-08-05 à 11:46

Ok j'ai vu mon erreur, désolé du dérangement.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : trigo et linéarisation 06-08-05 à 11:47

Si tu as vu ton erreur, corrige-toi et montre-nous ce que tu as fait.

Posté par
letoniore : trigo et linéarisation 06-08-05 à 11:59

J'ai vu mon erreur dans la formule d'Euler
sin^5 x= ((e^(ix)-e^(-ix))2i )^5

Par contre j'ai trouvé un exemple de résolution de ce type d'exo, dans lequel on développe à partir de la forme exponentielle, ce qui est je suppose le méthode.
Je suppose qu'il faut utiliser la formule du binôme de Newton avec laquelle je ne suis pas très confortable j'avoue...
Mais enfin j'y travaille

Posté par N_comme_Nul (invité)re : trigo et linéarisation 06-08-05 à 12:11

Si tu veux utiliser la formule du binôme de Newton, tu peux, vite fait, faire un petit triangle pour retrouver les coefficients :

1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1
1  5 10 10  5  1

Ensuite il faut mettre tous les produits
    a^ib^j tels que i+j=5
ce qui donne :
    (a+b)^5=1a^*b^*+5a^*b^*+10a^*b^*+10a^*b^*+5a^*b^*+1a^*b^*
la somme des puissances fait 5 :
tu les écris dans l'ordre "décroissant" :
    5+0; 4+1; 3+2; 2+3; 1+4; 0+5
reste à recopier :
    (a+b)^5=1a^5b^0+5a^4b^1+10a^3b^2+10a^2b^3+5a^1b^4+1a^0b^5
i.e.
    (a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigo et linéarisation 06-08-05 à 12:14

N_comme_Nul, belle explication !
L'ordre "croissant" marche aussi : c'est symétrique !

Posté par
letoniore : trigo et linéarisation 06-08-05 à 12:18

Après un calcul long et fastidieux, j'arrive à un résultat probablement faux.
Bon courage, je vous écrit ce que j'ai fait.

sin^5 x= ((e^(ix)-e^(-ix))2i )^5
=(e^(i5x)- 5^(i4x)e^(-ix)-10e^(i3x)e^(-i2x) -10e^(2x)e^(-i3x)- 5e^(ix)e^(-4x)- e^(-i5x))/(2^5.i)
= (e^(i5x)-5e^(i3x)-10e^(ix)-10e^(-ix)- 5e^(-3x)- e^(-i5x))/32i
=(...)
= sin5x /16 -(5cos3x -20cosx)/16i

Posté par N_comme_Nul (invité)re : trigo et linéarisation 06-08-05 à 12:22

\sin(x)^5 est réel et ton résultat est complexe, non réel ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigo et linéarisation 06-08-05 à 12:23

2ème ligne : il devrait y avoir une alternance de - et +, pas que des -

Posté par
letoniore : trigo et linéarisation 06-08-05 à 12:59

Ok je vois où est mon erreur. Puissance paire ou impaire...
Merci de votre aide, c'est clair pour moi.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigo et linéarisation 06-08-05 à 13:13

Alors, tu as trouvé combien ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : trigo et linéarisation 06-08-05 à 13:31

Soyons fous !
Le même, sans nombre complexe, mais avec nos chères formules de trigonométrie.

On rappelle :
sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}
sin(a)cos(b)=\frac{sin(a+b)+sin(a-b)}{2}

Donc :
sin^3x=sin(x)\frac{1-cos2x}{2}
= \frac{sin(x)}{2}-\frac{sin(x)cos(2x)}{2}
= \frac{sin(x)}{2}-\frac{sin(3x)}{4}+\frac{sin(x)}{4}
= \frac{3}{4}sin(x)-\frac{1}{4}sin(3x)

Puis :
sin^5x=sin^2x sin^3x
=\frac{1-cos(2x)}{2}(\frac{3}{4}sin(x)-\frac{1}{4}sin(3x))
=\frac{3}{8}sin(x)-\frac{1}{8}sin(3x)-\frac{3}{8}sin(x)cos(2x)+\frac{1}{8}sin(3x)cos(2x)
=\frac{3}{8}sin(x)-\frac{1}{8}sin(3x)-\frac{3}{16}sin(3x)+\frac{3}{16}sin(x)+\frac{1}{16}sin(5x)+\frac{1}{16}sin(x)
= \frac{5}{8}sin(x)-\frac{5}{16}sin(3x)+\frac{1}{16}sin(5x)

Nicolas

Posté par N_comme_Nul (invité)re : trigo et linéarisation 06-08-05 à 14:10

C'est beau !


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