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Linéarité d’une application
Bonjour,
Soit des
espaces vectoriels de dimensions finies et
Je veux montrer l'équivalence suivante :
J'ai fait le sens simple et pour le sens direct j'ai réussi à montrer l'existence d'une application h de E vers F qui vérifie :
Maintenant le cas où le noyau de g n'est ni le singleton 0 ni F tout entier me pose problème, je ne sais pas comment montrer que h est nécessairement linéaire.
Si vous avez des pistes…
Merci d'avance.
salut
la question n'est pas tant que h soit linéaire mais son existence ...
je t'invite à écrire
avec A = Ker f et B un supplémentaire de A
et C = ker g et D un supplémentaire de C
soit alors x un élément de E donc x = a + b avec a dans ker f et b dans B
que doit valoir h(x) ? que faut-il choisir ?
Je ne vois pas en quoi l'existence de h pose problème, en effet en supposant , je peux écrire :
.
Je prend alors , peut être que je me trompe en écrivant cela à la place de
Pour la manière que vous proposez, je ne vois pas trop quoi faire, h(x) doit être l'antécédent de f(b) par g, je ne saurais pas developper.
ce que tu écris est correct
alors il est aisé de montrer que h(ax + by) = ah(x) +bh(y)
mais il te faudra bien considérer à un moment les noyaux de f et de g
voir ensuite : 
et
qui donne un peu des idées générales
alors il est aisé de montrer que h(ax + by) = ah(x) +bh(y)
Malheureusement non pas pour moi puisque c'est le sujet de ce topic.
Je bloque au moment où je dois montrer que ce h que j'ai explicité plus haut est linéaire, voici ce que j'ai fait :
J'ai donc établi l'existence de ce h telle que f=goh. Je peux alors écrire f(x+by)=g(h(x+by)) ainsi que f(x)+bf(y)=g(h(x))+bg(h(y)).
Par linéarité de f et g on a donc que g(h(x+by)-h(x)-bh(y))=0
Et donc on revient au résultat que j'ai écrit dans mon message initial.
Je ne développe pas les deux cas simple ou Ker(g) est {0} ou F mais le cas ou Ker(g) n'est ni l'un ni l'autre m'embête, j'ai bien essayé d'écrire E et F comme vous me l'avez proposé mais je ne vois pas où ça doit me mener.
Je ne veux pas que vous me donniez la réponse mais une idée un peu plus clair que l'écriture de E et F comme somme directe m'aiderait bien
Bonjour,
Si tu prends pour n'importe que
tel que
, tu ne pourras pas montrer que
est linéaire, parce qu'il n'y a aucune raison pour que ce soit vrai.
Tu sais sans doute qu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base. Tu peux partir d'une base de , au lieu de partir de tous les éléments de
.
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