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Logarithme décimal avec base

Posté par
Phoenix08 14-07-23 à 12:59

Bonjour,
j'ai un problème avec un exercice concernant des logarithmes décimaux avec une base 2, le problème est que je n'ai pas eu de cours sur ce sujet (je sais utiliser les logarithmes normaux).
Pourriez-vous m'aider svp?

L'énoncé est le suivant :
Soit S l'ensemble des solution réelles de l'équation log2 (x) = 2log2(3)-log2(x-5)+2. Parmi les affirmations suivantes, déterminer celle qui est correcte ?
A. S=R
B.L'ensemble S contient deux nombres réels distincts et compris entre 5 et 10
C. S=(9)
D.L'ensemble S contient deux nombres réels distincts dont un est compris entre 5 et 8

De ce que je comprend il faut transformer cette équation en équation du second degré, puis calculer le discriminant et les racines ?

Posté par
malou Webmasterre : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 13:07

Bonjour Phoenix08
une fois que tu connais la définition d'un log en base 2 (ou autre, peu importe), le cours est quasi fini.
Passe par le log népérien si tu préfères (avec la définition du log en base 2)
ce serait bien de mettre les 2 en indices avec la touche x2 pour écrire le 2

Posté par
sanantonio312re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 13:08

Bonjour,
Un indice: log2(x) est la fonction inverse de 2x

Posté par
sanantonio312re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 13:09

Bonjour malou
Je vous laisse, c'est l'apéro de l'anniversaire de mon fils ...

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 13:18

Merci, donc si j'ai bien compris :
2x = 2 x 32 - (x-5)2 + 2
ce qui en simplifiant aboutit à :
2x = -x² + 10 x + 45

C'est correct ?

Ps:- Merci pour les touches
-Bon anniversaire à votre fils

Posté par
malou Webmasterre : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 13:25

Citation :
C'est correct ?

non, pas du tout

passe par le log népérien pour te familiariser avec log2
tu comprendras mieux ensuite qu'on peut faire plus vite

Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci.

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 13:33

D'accord, merci beaucoup
Donc ce serai :
ln (x)/ln (2) = 2 [ln (3) / ln (2)]- [ln(x-5) - ln (2)] + 2
c'est bien cela ?

Posté par
malou Webmasterre : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 14:26

Attention tu mélanges un peu tout ... soustraction, division..refais le proprement

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 15:42

Bonjour,

avant de passer au \ln , transforme d'abord le 2 en écrivant

que 2=\log_2(?)

remplace le point d'interrogation

ensuite revois un peu ton post de 13h33

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:10

D'accord, mais
Si 2 = log(x)
Alors, comment on peut transformer log(3) par exemple parce que ca donnerai aussi 2 et le 3 n'interviendrai pas ?

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:12

Pardon, il y a quelques erreurs d'écriture dans mon post précédant :
2= log2 (x)
et log2 (3)

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:15

excuse moi mais je ne comprends pas ta question .

pour répondre à la question de mon post de 15h42, il suffit de se souvenir que le logarithme d'un nombre est l'exposant qu'il faut donner à la base pour obtenir ce nombre

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:28

Dans ce cas pourquoi 2 = log2 (x) parce que ça voudrait dire (si j'ai bien compris) que pour trouver le logarithme de x, il faut donner un exposant de 2 à la base (ici 2), mais si on fait 2² = 4 donc log2 (x) = 4 ?

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:35

Citation :
mais si on fait 2² = 4 donc log2 (x) = 4 ?


tu as mal interprété , la base c'est 2 ; la question est quelle est la valeur "à mettre" à la place du point d'interrogation si  le log de ce nombre vaut 2

Citation :
.... donc log2 (x) = 4
non c'est \log_2(4)=2

car 2^2=4

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:46

Donc ce serai 2= log2 (1),c'est cela?

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:48

Mais dans ce cas, on ne peut pas écrire log2 (3) différemment parce qu'aucune puissance de 2 ne vaut 3?

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:51

non que ne comprends-tu pas dans l'explication donnée dans mon post de 18h35

un autre exemple dans en base 10

\log(1000)=3 car 10^3=1000

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:55

un autre exemple
\log_2(x)=3 -> x=8 car 2^3=8

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 18:59

D'accord, c'est bon je pense avoir compris mais de ce fait :
Log2 (3) = une puissance qui serai mise sur 2 donnerai 3
Mais il n'y en a aucune car 20 =1
21 =2
22 =4

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 19:13

il n'a rien de choquant

\log_2(3)=1.58496.... tu peux trouver un nombre décimal

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 19:19

Le problème est que cet exercice provient d'un concours que l'on est censé réaliser sans calculatrice, y a t-il un autre moyen de résoudre l'exercice de ce fait?

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 19:25

tu n'as aucun problème dans ton exercice, en effet

repars de  

\log_2 (x) = 2\log_2(3)-\log_2(x-5)+\log_2(4) \\

et transforme 2\log_2(3)\,en\,\log_2(?)

remplace le ? et ensuite suis le conseil de malou

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 19:37

2 log2 (3) = log2(6) ?

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 19:38

non revois un peu tes formules

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 19:39

Je n'ai jamais eu de cours, je n'ai pas de formules à part celles que vous m'avez données...

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 19:48

\log_a(x^b)=b \log_a(x)

remarques :

1) avant de résoudre ton exercice, tu aurais dû examiner les conditions d'existence des log

2)tu pourrais trouver toutes ces infos sur le net

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 20:08

D'accord, merci beaucoup
De ce fait, on a :
2 = log2 (9) - log2 (x-5) + 2
C'est cela ?

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 20:38

non!

n'oublie pas les conditions d'existence et ensuite repars de:

\log_2 (x) = \log_2(9)-\log_2(x-5)+\log_2(4)

en tenant compte de

\ln(\dfrac{a}{b})=\log{a}-\log{b}

\ln(a\,b)=\ln(a)+\ln(b)

Posté par
carpediemre : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 20:55

salut

je suis de loin ... sans intervenir !! mais quand même deux remarques :

tout d'abord une correction (il me semble)

Pirho @ 14-07-2023 à 19:13

\log_2(3)=1.58496.... tu peux trouver un nombre décimal
plutôt un irrationnel je pense ...

enfin repartir des définitions et ici tu as un cours à connaitre absolument un cours sur la fonction logarithme népérien

tout comme le logarithme décimal (donc de base 10) le logarithme de base a > 0 est définie par \log_a x = \dfrac {\ln x} {\ln a}    (donc x > 0)

et on en déduit immédiatement que \log_a a^x = x   car \log_a a^x = \dfrac {\ln a^x} {\ln a} = \dfrac {x \ln a} {\ln a} = x    (pour tout réel x)

et donc si on cherche x tel que  2^x = 3  alors  \ln 2^x = \ln 3 \Longrightarrow x \ln 2 = \ln 3 \iff x = \dfrac {\ln 3} {\ln 2} = \log_2 3


de ces définitions on en déduit que de ton équation on obtient :

\log_2 x = 2 \log_2 3- \log_2 (x - 5) + 2 \iff \ln x = \ln 3^2 - \ln (x - 5) + 2 \ln 2 \iff \ln x + \ln (x - 5) = \ln 9 + \ln 2^2 \iff \ln [x(x - 5)] = \ln 36 \iff x(x - 5) = 12 \iff x^2 - 5x - 36 = 0

je te laisse vérifier et travailler ces calculs avec le cours ... et je m'en vais ...

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 20:56

Le domaine de définition des log est : ]0 ; + infini[
Si on reprend l'équation, cela fait :
log2 (x)= log2 (9/x-5) + log2 (4)
log2 (x) = log 2 (36/x-5)

En tenant compte du domaine de définition
x-5 >0
x>5

c'est correct ?

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 20:59

D'accord, merci beaucoup à tous pour votre aide !

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 21:05

carpediem

Citation :
plutôt un irrationnel je pense ...
oui exact, erreur de ma part!

Phoenix08

x=\dfrac{36}{x-5}

d'ou x=?

Posté par
Phoenix08re : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 21:19

D'où :
x (x-5) = 36
x²-5x = 36
x² - 5x - 36 = 0
Je pense avoir compris...

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 14-07-23 à 21:28

ok, mais que vaut x?

Posté par
Pirhore : Logarithme décimal avec base 15-07-23 à 07:27

Pirho @ 14-07-2023 à 21:28

ok, mais que vaut x?


j'attends toujours ta réponse?

et finalement as-tu choisi A, B, C ou D?


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