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loi de composition interne
quelqu'un m'aide à ressoudre cette partie
Définition : Soit I un idéal de A.
(i) On dit que I est premier si : ∀x, y ∈ A xy ∈ I x ∈ I ou y ∈ I
(ii) On dit que I est maximal si pour tout idéal J de A I ⊂ J J => I ou J = A
1) Montrer que si A est un corps alors {0} est un idéal premier et maximal de A.
2) Montrer que si tous les idéaux de A sont premiers alors A est un corps.
3) Soit I un idéal de A et a ∈ A\I.
a) Montrer que I + aA est un idéal de A contenant I strictement.
b) En déduire que si I est maximal alors I est premier.
4) Montrer que les idéaux premiers de (Z, +,*) sont les parties de Z de la forme
nZ, avec n =0 ou n est un nombre premier.
merci d'avance
1) Utilise le fait qu'un corps est sans diviseurs de zéro et que l'idéal engendré par un élément non nul est égal à A.
2) Je pense que c'est faux!
3) a) purement formel
b) Supposns I maximal et avec
Alors I+xA=A ce qui te permet de montrer que
4) Essaye, ce n'est pas difficile!
En effet c'est vrai. Si on regarde l'idéal
qui est premier. Mais comme
, on a
. Il existe donc a tel que
, donc tel que
L'anneau étant intègre, (puisque (0) est premier) on a xa=1
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