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lois interne, associativité et commutativité
bonjour,
mon premier cours en sup et j'ai le début du cours un peu dans les chaussettes! Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer un peu s'il-vous-plait...
donc tout d'abord la lois interne? si j'ai bien compris est internes car si j'effectue une multiplication sur R je reste dans R (un de ses sous ensemble), c'est bien ça?
ensuite dans ce qui me dérange, on a parlé de groupe... E étant un ensembe égle à ; (E,+) est un groupe commutatif car il est interne, admet un élément neutre, symétrique et associatif, c'est bien ça?
ensuite est un anneau commutatif car x est interne, associative, admet un élément neutre, commutatif et x est distributif sur +
et comme est symétrique c'est aussi un corps... si bien comme ça qu'il faut comprendre ces notions car là je suis un peu perdu!
ah oui aussi normalement les + et x sont entouré, c'est quoi la différence?
merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider
Bonjour
(E,+) est un groupe commutatif car il est interne, admet un élément neutre, symétrique et associatif, c'est bien ça?
Attention, ce n'est pas (E,+) qui est interne etc : c'est la loi + qui est interne dans E (ce qui signifie bien que pour tous a, b de A, a+b est encore dans E)
+ admet un élément neutre dans E : c'est-à- dire qu'il existe un élément e de E tel que pour tout élément a de E, a+ e = e + a = a
+ est associative : pour tous a, b, c de E, a+(b+c) = (a+b)+c
et enfin tout élément de E admet un symétrique dans E : pour tout a de E on peut trouver un a' dans E tel que a + a' = a' + a = e, e étant le neutre (dont on montre que si + est associative, il est unique)
les signes sont entourés pour bien montrer qu'il ne s'agit pas forcément des addition et multiplication usuelles dans R
d'accord, je commence à mieux comprendre le vocabulaire mais pour ce qui est de la différence entre groupe, corps et anneau? dsl si cette question paraît bête mais j'ai l'impression de ne pas avoir comprit ce matin...
salut
dans un groupe il n'y a qu'une loi interne
dans un anneau et un corps il y a 2 lois mais pour la 2e il n'y a pas toujours d'inverse...
re
Qui est E ?
un corps est toujours un anneau, mais un anneau n'est pas forcément un corps :
exemple (Z, +,x) est un anneau, mais pas un corps : par exemple 2 n'a pas de symétrique pour la deuxième loi
Z, c'est l'ensemble de tous les entiers, négatifs ou positifs
Si tu parles de E = RxR, tu as défini (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d), sans doute ? et (a,b) x(c,d) ?
et ton prof a montré en classe que cette multiplication est commutative, associative, que (1,0) est neutre, qu'elle est distributive par rapport à l'addition, et que tout (a,b) a un symétrique (a/(a²+b²) , -b/(a²+b²)), non ?
La réponse à ta question est contenue dans les définitions.
Un groupe, c'est un ensemble muni d'une LCI qui vérifie certaines propriétés.
Un anneau, c'est un ensemble muni de deux LCI qui vérifient certaines propriétés. (et en particulier, la première LCI définit une structure de groupe)
Un corps, c'est un anneau qui vérifie une certaines propriété : en l'occurrence, tous les éléments non nuls sont inversibles pour la multiplication.
Et bien c'est les lois internes dont on parle depuis le début, tu en as fait mention dans ton tout premier post.
Une Loi de Composition Interne sur un ensemble , c'est une application de
dans
: à un couple d'éléments de
, on associe un élément de
.
Exemple : l'addition dans .
Après, les LCI peuvent avoir différentes propriétés : associativité, commutativité, existence d'un élément neutre, ...
ok mais mon prof n'a pas approfondi... la notion de groupe corps et anneau doivent vraiment bien intégré en début de sup? car là pour moi c'est assez abstrait, je comprends mais pour en reconnaître de nouveau...
Pour l'instant, ce ne sont que des définitions à connaître, et à savoir appliquer. Tu vas probablement faire quelques exercices qui vont t'ancrer les définitions en mémoire une fois pour toutes ...
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