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Majoration du nombre de bases stables
Bonjour,
Nomenclature :
est muni d'une structure d'algèbre grâce à la multiplication interne
.
On appelle m-base tout base de E telle que
.
On note la matrice de passage de
(base canonique) à
.
Questions faites :
- B une m-base, f un automorphisme de E, alors f(B) est une m-base.
- Toute matrice déduite de M(B) par permutation de lignes/colonnes est une matrice de passage de B0 à une m-base.
- B une m-base, la forme linéaire qui prend 1 en les éléments de B est une forme multiplicative.
- Les formes multiplicatives de E sont éléments de la base duale de B0.
- Il existe dans M(B) une et une seule ligne dont tous les coefficients valent 1.
Questions à traiter :
Soit une m-base et
. J'ai montré qu'il existe
tel que
. Et sauf erreur
.
On me demande de majorer le nombre de m-base en fonction de n.
Alors j'ai utilisé le fait que chaque coefficient des est racine de
avec
donc on est limité par le degré, mais malgré tout j'ai une majoration TRES grossière, et vous ?
Merci 
Bon ça n'a pas l'air de vous inspirer (et je le comprends 
)
Une question un poil plus intéressante :
Soit une m-base,
et
l'endomorphisme de l'espace vectoriel
qui à
associe
.
Montrer que est un entier compris entre 1 et n.
Alors j'ai dit que vu que on a
donc
est un polynôme annulateur de
. Donc les valeurs propres sont à chercher parmi ses racines, et on sait que
.
Seulement je ne vois pas pourquoi la trace serait un entier...
Any idea ?
Ah si si c'est bon pour p(a)
Par contre toujours pas réussi les questions... personne n'a une petite idée ?
Ca n'intéresse vraiment personne cette histoire de bases stables ?
J'offre une glace à celui qui m'aidera 
(tu vas en faire qu'une bouchée!)Euh... sauf erreur les colonnes de m_a dans la base B ne sont constituées de 0 et de 1 (un unique 1 par colonne pour être précis) donc ya de fortes chances pour que la trace de m_a soit un entier.
J'ai aussi un truc pas particulièrement fin et moche. En fait ce qui serait cool c'est que p(a)|n, auquel cas on aurait une expression simple du nombre de m-bases mais je vois pas trop pourquoi ça serait vrai...
T'as quoi comme majoration ?
Dans le cas où K=R je trouve p(a)=2, donc non on a pas p(a) qui divise n.
On prend un élément d'une base stable, disons a.
Alors il existe m dans [1,n] tel que a^m=a. Donc tous les coefs de a sont des racines de X^m-X. Et yen a au plus m de telles racines. Ceci valant pour chaque coefficient, il y a m^n possibilités.
AU final, on a 1^n*2^n...*n^n choix pour a soit donc (n!)^n.
Mais me suis arrêté trop tôt, vu que c'est pas exactement ce qui est demandé.
Il y a donc au plus (n!)^n vecteurs qui peuvent intervenir dans une m-base. Pour en former une, il faut choisir n vecteurs dans le tas.
La majoration que je trouve est donc "n parmi (n!)^n"... :S
Pourquoi "AU final, on a 1^n*2^n...*n^n choix pour a soit donc (n!)^n." ?
Moi j'ai dit que pour a on a m^n possibilité et comme m<=n+1 on majore par (n+1)^n.
Donc le nombre de bases qu'on peut former : (n+1)^n*(n+1)^n*...*(n+1)^n = (n+1)^(n²) (enfin normalement à chaque facteur on enlève 1 au fur et à mesure vu qu'une base ne peut comporter 2 vecteurs identiques, mais bon ça reste énorme)
C'est faux ? ^^ j'ai tout oublié de la combinatoire 
On peut peut-être améliorer ça en utilisant la stabilité de la base..
Merci en tout cas
Ouais non, c'est moi qui ai cracké j'crois... 
Par contre, j'aurai plutôt tendance à dire "n parmi (n+1)^n" paske avec ton produit, on seulement on peut compter deux fois les mêmes vecteurs mais en plus l'ordre intervient. (j'essaie de me rattraper là... )
Oui effectivement, c'est loin d'être optimale mais je pense pas qu'on puisse raisonnablement utiliser la stabilité: on diminuerai surement la borne, mais l'expression serait encore plus moche...
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