Salut

As-tu essayé de revenir à la définition du déterminant? Pour maximiser le déterminant, il faut maximiser une somme..

Je sais que det(A) = _i=1ⁿ(-1)^i+j aij det (Aij) ??

Ca  a l'air intéressant ! Il y a  2⁴⁹  matrices vérifiant la propriété

1ère méthode tu les essayes toutes  

Bon je vais réfléchir .....déjà le déterminant est un entier et si tu prends l'identité il vaut 1 ....

Avec une matrice 3x3, j'obtiens det(A)=2 (c'est le plus grand que j'ai pu trouver...)
Avec une matrice 4x4, j'obtiens det(A)=3

Donc avec une matrice 7x7, det(A)=6 ?

Avec une matrice 2x2 la réponse est  1 (là on essaye tout)

Quels sont tes exemples pour 3 et 4 ?

A = 1 0 1
    1 1 0
    0 1 1

A = 1 0 1 1
    1 1 0 1
    1 1 1 0
    0 1 1 1

On a l'impression qu'il faut 1 seul 0 par ligne et par colonne ...sur les exemples en tout cas et en plus en décalant le 0 d'une case à chaque fois

  

oui c'est ce que j'ai remarqué aussi ...

Pour le cas  3x3  : une matrice réalisant le maximum ne peut avoir 2 zéros sur une même ligne et une même colonne , sinon on se ramène à une matrice 2x2.

Donc il faut 1 seul 0 par ligne et colonne . amlheureusement après c'est moins clair

A  =

    1.    1.    1.    1.    0.    0.    0.
    1.    1.    0.    0.    1.    1.    0.
    0.    0.    1.    1.    1.    1.    0.
    1.    0.    1.    0.    1.    0.    1.
    1.    1.    0.    0.    0.    1.    1.
    1.    0.    0.    1.    0.    1.    1.
    0.    0.    0.    1.    1.    0.    1.  

det (A) = 12 ...

et celui de la matrice 7x7 avec un seul 0 c'est seulement 6 alors ?  

Bon là je dois partir à +

Bon ça n'avance pas trop :
Si on utilise l'inégalité de Hadamard on a ça :

La norme d'une colonne formée de 0 et de 1 en dimension n  est majorée par
n^1/2 , sachant qu'il y a au maximum  1 seule colonne qui n'a que des 1 les autres colonnes sont en fait de norme inférieure à  (n-1)^1/2 ce qui donne la pauvre estimation :

l det M l =<  n^1/2(n-1)^(n-1)/2   pour la matrice maximale.

Pour  n =2  on majore par la racine carrée de 2 ce qui donne 1 pour un entier
Pour  n =3  on majore par  2 racine(3)= 3,4  c'est déjà mauvais...

Pour l'instant, après plusieurs essais, je trouve det(A)=24...

En fait on doit pouvoir majorer bien mieux ainsi :

DetA  est une somme de +/-1  multiplié par des produits de coefficients de A.

Le  +/-  correspond à la signature de la permutation, donc si on majore tous les -  par 0 on a trivialement  DET A =< n!/2  ce qui est déjà aussi bon que la formule précédent (n!/2 = cardinal des signatures paires).

Maintenant comme  A possède au plus une seule ligne ne comportant que des 1 on doit pouvoir virer encore quelques sommes

det A =<  n!/2 - (nombre de produit nuls)   bon faut les compter mais pour des petites valeurs de n il se peut qu'on ait le résultat optimal....