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Matrice
Bonjour,
J'ai un exercice sur les matrices et je bloque à certaines
questions, voici l'exercice en question:
On donne la matrice
A=
0 1 2
4 -3 -8
-3 3 7
1. calculer A^-1
2. Calculer A²-3A+2I
3. Exprimer A^-1 en fonction de A et I.
On pose P=A-I et Q=A-2I
4. a) calculer PQ et QP
b)montrer P²=P et Q²=-Q
5. Exprimer A en fonction de P et Q. Montrer que pour tout entier strictement positif n on a A^n=2^n.P-Q
6 Expliciter les coefficients de A^n pour n supérieur ou égal à 0.
Donc pour la question 1 j'ai trouvé
A^-1=
9/6 -3/6 -1
-2 -3 4
3/2 -3/2 -2
J'ai vérifié, ça semble etre bon.
Pour la question 2 je trouve
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Pour la question 3
étant donné que AxA^-1 = I
A^-1= I/A
A partir de la question 4 je ne suis plus très sûre:
Je trouve PQ=QP=A²-3AI+2I² soit A²-3A+2
Pour le petit b je n'arrive pas à démontrer que P²=P
Merci d'avance de votre aide 
Bonjour
Le début à l'air correct. la suite se gate, I/A n'a aucun sens.
Comme , en multipliant par
, on trouve
, d'où
Ensuite,
, mais
donc
Bonjour,
Pour la 3), réalise que 1/A ça ne veut rien dire en termes de matrices...
En fait, il faut que tu partes de ce que tu as trouvé en 2) :
A² - 3A + 2I = 0
Tu multipies tout par A^(-1) :
A - 3I + 2A^(-1) = 0
Donc
A^(-1) = -(1/2)(A - 3I)
Merci beaucoup pour votre aide !
J'ai compris.
Du coup pour prouver que Q²=-Q
ça me donne
(A-2I)= A²-4AI+4I
en remplacant A² par 3A-2I
ca donne 3A-2I-4AI+4I
donc -A+2I qui est bien égal à -Q
ensuite pour la 5 j'ai trouvé
A=P+I
I=A-P
A=Q+2I
A=Q+2(A-P)
A=Q+2A-2P
-A=Q-2P
A=2P-Q
mais je comprends pas trop la suite de la question 5
Justement, si, puisque PQ=QP=0. Tu peux le faire par récurrence, ou en utilisant la formule du binôme.
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