Bonjour,

que trouves-tu pour B²?

en fait je sait pas comment calculer B ou B² car le I me dérange je sais pas ce que c'est

Ah ben il aurait peut-être fallu commencer par là alors!!

I est la matrice identité, à savoir celle qui n'a que des 0, sauf sur la diagonale, qui elle ne comporte que des 1.

Donc 4I est la matrice diagonale qui ne comporte que des 4, et A+4I ?

A priori I est l'identité, ici . A partir de là ca devrait être plus simple

merci je vais povoir avancer un peu
alors je trouve pour B

Lol!!!!!

Comment as-tu fait ces matrices??C'est plus des matrices d'ailleurs, c'est des mammouths!

C'est juste pour B² = 3B.

Remplace à présent B par A+4I dans cette relation et développe le carré (ce qui est possible puisque A et 4I commutent).
Il en découlera une relation entre A et I.

oui je sais j'ai fais des mammouths mais bon lol

donc j'ai B= A + 4I
donc B² = A²+8AI+16I²

et B²=3B= 3A+12I
donc A²+8AI+16I²= 3A+12I
A²=-8AI-16I²+ 3A+12I
A²= I(16-8I+12I)+3A
est ce juste ?

et comment fait-on pour la dernière question ?

Alors c'est juste mais tu peux observer que A.I = A : la matrice I est l'élément neutre de la multiplication des matrices (comme 1 dans R), et que I² = I.

Donc en fait, on a A² + 5A = -4I, ok?

Pour la dernière question, il suffit de prouver qu'il existe une matrice B telle que A.B = I.

Et compte tenu de ce qui précède, ça tient en une ligne!

c'est ok pour A²+5A=-4I mais je ne vois vraiment pas pour la fin !!
et A.B=A^-1???
désolée mais je n'es jamais vu l'inverse d'un matrice

Je viens pourtant de te donner la condition à vérifier pour prouver que A était inversible.
Il suffit de mettre I tout seul à droite et de factoriser A à gauche: