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MAtrice

Posté par
fifou12 17-05-09 à 00:48

Salut tout le monde ! Je vous laisse un énoncé d'exercice que j'ai du mal à résoudre ! ( je vous remerice d'avance de vos conseils et coups de pouce =) )

Soit \\ A=\(\array{3,ccBCC$\\6&-1\\1&4\) , Calculer A^n sachant que A = 5I + J

Après avoir calculé J qui est nul pour tout n supérieur ou égal à 2, En utilisant le Binome de Newton je tombe sur le résultat de A^n : \\ A=\(\array{3,ccBCC$\\5^n+n5^{n-1}&-n5^{n-1}\\n5^{n-1}&5^{n-1}+5^n\) ...

Voilà résultat qui me semble très comvenable ^^

On me demande ensuite >>
Soit (un) et (vn) les suites définies telles que
un+1 = 6 un - vn
vn+1 = un + 4 vn

Montrer que Pour tout n de N, \\ \(\array{3,ccBCC$\\Un+1\\Vn+1\) = A \\ \(\array{3,ccBCC$\\Un\\Vn\)

J'ai tenté cette démonstration par récurrence, je pense avoir fait ce qu'il fallait ! Voici la dernière question et la survient mon problème !

En déduire les expressions de Un et Vn en fonction de U0 et V0 et de n.

A cause du en déduire je suppose qu'il faut utiliser la récurrence et aussi le Résultat de A^n ! je suppose qu'il n'est pas demandé pour rien, ceci dit je n'arrive pas à démarrer sur quelque chose ! quelqu'un pourrait-il m'éclairer ??

Par avance merci =)

Posté par
max---re : MAtrice 17-05-09 à 00:58

Salut ^^

A mon avis, il faut dire que tu as affaire à une "suite géométrique".

Tu as 4$\(\array{U_{n+1}}\\V_{n+1}\) = A\(\array{U_{n}}\\V_{n}\), ie \(\array{U_{n+1}}\\V_{n+1}\) = A^n\(\array{U_{0}}\\V_{0}\)

je pense que c'est simplement ça

Posté par
Delftre : MAtrice 17-05-09 à 01:07

Pour résumer, tu as une forme de récurrence immédiate (aussi immédiate que dans le cas d'une suite géométrique ):
Tu viens de montrer la relation
\(U_{n+1}\\V_{n+1}\)=A\(U_{n}\\V_{n}\)
Donc tu as (pour détailler le raisonnement... après pour le rédiger proprement tu fais une récurrence)

\(U_{1}\\V_{1}\)=A\(U_{0}\\V_{0}\)
\(U_{2}\\V_{2}\)=A\(U_{1}\\V_{1}\)=A^2 \(U_{0}\\V_{0}\)
... et ainsi de suite, ce qui te donne en supposant la propriété vraie jusqu'au au rang n\in \mathbb{R}:

\\ \(U_{n+1}\\V_{n+1}\)=A^n\(U_{0}\\V_{0}\) \\ \(U_{n+2}\\V_{n+2}\)=A \(U_{n+1}\\V_{n+1}\) =A^{n+1}\(U_{0}\\V_{0}\) \\
QED.

Tu as donc ta relation au rang n, il te manque plus qu'à développer ton terme \(U_{n}\\V_{n}\)= A \(U_{0}\\V_{0}\) et à identifier pour avoir les termes généraux de tes suites .

Posté par
Delftre : MAtrice 17-05-09 à 01:10

Hmm j'ai malencontreusement oublié un A^n dans ma dernière ligne x).

Posté par
fifou12re : MAtrice 17-05-09 à 12:59

ok Merci


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