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Posté par
theteam 03-03-10 à 01:22

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour ce problème.

Soit N une matrice carrée telle que N^(r+1)=0. Montrez que I - N est inversible et que son inverse est I+N+N²+...+N^r. Tout cela, en utilisant ce résultat pour calculer l'inverse de A=[1 2  3]  
                                      [0 1 -1]  
                                      [0 0  1]

Merci de votre aide.

Posté par
veledare : Matrice 03-03-10 à 08:03

bonjour,
I^{r+1}-N^{r+1}=I(I et N commutent)
donc c'est aussi(I-N)(I+N+N^2+N^3+....+N^r)
d'où
(I-N)(I+N+N^2++++++N^r}=I donc...

2) tu écris A=I-N avec N=
0 -2 -3
0  0  1
0  0  0

N est triangulaire supérieure stricte donc nilpotente (N3=0) et tu utilises le 1)
-

Posté par
theteamre : Matrice 03-03-10 à 23:59

Je ne suis pas sur de comprendre...

Posté par
LeZebrere : Matrice 04-03-10 à 00:07

Les réponses données me semblent pourtant claires, je résume :
Question 1 : il te suffit de développer le produit (I-N)(I+N+N²+...+N^r) et tu trouveras I
Question 2 : On a A=I-N avec N la matrice donnée par veleda
et on vérifie que N^3=0 donc tu peux utiliser la question 1 avec r=2


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