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Matrice
Bonjour,
j'ai un petit problème:
Si on a N une matrice à 3 lignes, 3 colonnes et si N^3=0, comment justifier que rg N
2 ?
La correction que je ne comprends pas énonce: "N^3=0. N n'est pas inversible donc rg N<3 d'où rg N2 ."
Je ne comprends pas les deux implications...
Merci!
une matrice inversible à un rang égal à la dimension de l'espace. or n'étant pas inversible, N ne peut pas être de rang 3 donc soit 0,1 ou 2.
Pourriez-vous réexpliquer?
en fait tout dépend de comment tu as définis l'inversibilité de ta matrice et les caractérisations que t'as vu.
qu'est ce que pour toi une matrice inversible ?
On a : A une matrice de Mn(K). A est inversible ssi: il existe A' élément de Mn(K), A*A'=A'*A=In. Ensuite on a un lien avec les applications linéaires:
soit E K-ev de dimension n, de base B =(e1,...,en), f un endomorphisme de E , A = MatB(f). Alors A est inversible ssi f est bijectif
voilà on utilise: A inversible ssi f est un isomorphisme.
dans un certaine base (e_1,...,e_n).
f envoie une base sur une base donc est une base de M_n1(K)
ceci prouve que les colonnes de A sont libres donc que rg(A)=rg(famille formée par les colonnes)=n
ok ?
ok j'ai compris! Et enfin pourquoi a-t-on:
N^3=0 
N n'est pas inversible ?
Plus généralement, pourquoi une matrice nilpotente n'est pas inversible?
on revient à ta première déf., si N inversible, il existe D tq ND=I donc cela voudrait dire que N^2=0 donc N=0 qui n'est pas inversible.
en fait oui un nilpotent n'est pas inversible.
(sauf si E={0}, alors à ce moment là, l'endomorphisme nul est nilpotent et inversible (puisque c'est le seul endomorphisme de E) mais enfin ce cas n'est pas intéressant...=
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