Bonjour

La méthode générale est de montrer que l'image de la forme bilinéaire (X,Y)XY-YX est exactement l'ensemble des matrices de trace nulle.

Bonjour a vous,
Camélia: Ca revient plus ou moins a la meme chose au bout d'un moment il va bien falloir prouver la surjectivité en mettant les mains dans le cambouis et en mettant en exhibant des A et B qui conviennent (ou a la limite calculer le noyau de l'application induite mais ca m'a pas l'air joyeux...)

Parc: Ta première intuition est bonne cherche a résoudre A=[D,X] ou D est une matrice diagonale et A une matrice a diagonale nulle

A ouais ça à l'air horrible...

On peut pas plutot faire par récurrence en extrayant des sous matrices de taille n-1 et en disant que chacune est de la forme XY-YX ?

Heu, ca va pas etre simple...je doute que tu arrive a qqch comme ça...mais ce que je te propose est tres simple.

[D,X]= DX-XD ?

Oui, oui, pardon je n'avais pas defini la notation.

Bon ba j'ai fait le calcul brutalement en disant que D=diag(l1,l2,l3...ln), X=[x i,j], A=[a i,j]
j'obtiens x i,j = (a i,j)/(li - lj) je ne sais pas si c'est utile.

Ba ça veut dire qu'on sait faire pour A à diagonale nulle maintenant il faut généraliser aux matrices a trace nulle.

Ben toute matrice de trace nulle est conjuguée a une matrice a diagonale nulle.

Soit M de trace nulle, il existe P dans GLn(K), A de diagonale nulle telle que M=P^(-1)*A*P et aussi A=DX-XD mais je vois pas pourquoi il existe X et Y telles que M=XY-YX

Conjugue aussi les matrices D et X, P[D,X]P^{-1}=[PDP^{-1},PXP^{-1}]

Ha ba oui merci beaucoup et merci pour ta patience...

Salut

le fait que A soit semblable à une matrice à diagonale nulle n'est pas un résultat trivial en soit !

Ca je sais le demontrer enfin je pense.

Je raisonne par recurrence sur n.
Je prend une base de l'espace (e1,e2,...,en).
Soit pour tout i (ei,u(ei)) est lié alors u est une homotétie et c'est fini soit il existe i telle que (ei,u(ei)) soit libre. Je complete en une base et j'applique la récurrence à la sous matrice qui est aussi de trace nulle puisque le premier terme de la diagonale est nulle après on construit la matrice P telle que P^(-1)*M*P soit a diagonale nulle et voila.

C'est juste ?

Bsoir,

C'est relativement juste....sauf que tout ça ne marche que si la caractéristique du corps est > n  ou alors  0 !  Sinon tes deux preuves s'effondrent et des contre exemple se trouvent .

Exemple l'identité d'ordre p est de trace nulle en caractéristique  p

Mais il n'y a jamais de corps avec une caractéristique différente de zero aux concours si ?

Ca dépend de quel concours tu parles...mais dans tous les cas mieux vaut le préciser .