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Matrice avec coefficients pairs et impairs.

Posté par
lyon90 01-03-09 à 16:18

Bonjour à tous, je bloque sur la fin d'un problème qui me paraît vraiment abstrait.

Voilà ce que l'on me demande :

1) Montrer qu'une matrice carrée à coefficients dans , impairs sur la diagonale, pairs ailleurs, est inversible (on pourra faire une récurrence sur la taille de la matrice).
2) Soient p *, A = (ai,j) M2p(), à coefficients pairs sur la diagonale, impairs ailleurs. Montrer que A est inversible (on pourra étudier la parité des coefficients de A²).
3) Soient p *, A = (ai,j) M2p+1(), à coefficients pairs sur la diagonale, impairs ailleurs. Montrer qur rg A 2p (on pourra montrer que les 2p premières colonnes de A forment une famille libre).

Malgré les indications de l'énoncé je n'arrive vraiment pas à répondre à ces questions. Comment je pourrais procéder en utilisant ces indications ?

Merci d'avance

Bonne journée !

Posté par
perroquetre : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 16:41

Bonjour, lyon90

Pour la première question:
3$ \det A =\sum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\ldots a_{n,\sigma(n)}

Dans cette somme, tous les termes sont pairs sauf un, qui est impair (celui correspondant à \sigma=Id_{[|1,n|]}). On en déduit que le déterminant de A est impair, donc non nul.


Pour la deuxième question:
il suffit de montrer que A² vérifie les hypothèses de la première question et est donc inversible; et si A² est inversible, alors, A l'est.

Pour la troisième question:
La matrice extraite de A en prenant les 2p premières lignes et les 2p premières colonnes vérifie les hypothèses de la deuxième question. Elle est donc inversible ...

Posté par
lyon90re : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 16:59

Merci pour votre réponse, mais j'ai un petit problème, je n'ai jamais utiliser en cours la notion de déterminant d'une matrice, cela m'est totalement inconnu... Du coup je ne comprend pas du tout ce qui se passe pour la question 1. Je n'ai pas la moindre idée de ce que c'est que le déterminant.

D'autre part je ne vois pas de récurrence sur la taille de la matrice, pourquoi ne l'utilisez vous pas ?

Merci encore

Bonne journée !

Posté par
perroquetre : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 17:05

Citation :

D'autre part je ne vois pas de récurrence sur la taille de la matrice, pourquoi ne l'utilisez vous pas ?


Ma solution n'a pas besoin de récurrence...

Donc, je suppose que tu as la notion de rang d'une matrice et que tu sais que la notion de rang est invariante par opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Avant de continuer, je vérifie que tu connais bien ces notions

Posté par
lyon90re : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 17:09

Oui nous avons vu le rang d'une matrice cette semaine. Je viens de relire mon cours de A à Z et jamais nous n'avons vu les déterminants des matrices... Ca reste problématique.
Il faut utiliser la méthode indiqué dans l'énoncé alors, mais pourtant je ne sais pas comment débuter, comment faire ?

Merci encore

Posté par
perroquetre : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 17:28

Citation :

Oui nous avons vu le rang d'une matrice cette semaine. Je viens de relire mon cours de A à Z et jamais nous n'avons vu les déterminants des matrices... Ca reste problématique.


Ca va bientôt être abordé, si tu es en Sup MPSI.
Sinon, sans doute pas cette année.

On fait donc une récurrence sur la taille n de la matrice.
Si n=1, le résultat est évident.
Supposons le résultat vrai pour une matrice de taille n.
On considère alors une matrice de taille n+1 dont les éléments diagonaux sont impairs et dont les autres éléments sont pairs. Pour i variant de 2 à n+1, on remplace la ligne L_i par a_{1,1}L_i-a_{i,1}L_1. On obtient une matrice A' équivalente à A de la forme
\begin{pmatrix} a_{1,1} & a{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\ 0 & & & \\ \vdots & & B & \\ 0 & & &\end{pmatrix}
où B est une matrice de taille n dont tous les éléments diagonaux sont impairs et dont les autres éléments sont impairs. On peut appliquer l'hypothèse de récurrence à B ...

Posté par
lyon90re : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 18:11

Merci beaucoup, c'est très clair, toutefois je sais trop comment je vais arriver à rédiger tout ça pour montrer que B est une matrice dont les éléments diagonaux dont impairs et les autres pairs.

Mais au final, en quoi cela montre qu'elle est inversible ?

Pour la 3) je n'ai pas tout compris au sujet de la démonstration, comment commencer ?

Merci encore

Au fait je suis en prépa commerciale, donc apparemment les déterminants ce n'est que l'année prochaine.

Bonne soirée !

Posté par
lyon90re : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 23:17

Je me permet de faire un petit up.

Merci encore pour tout

Posté par
perroquetre : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 01-03-09 à 23:32

Le problème, c'est que je ne connais pas ton cours.

Je suppose que ce théorème fait partie de ton cours:
A est inversible si et seulement si, par opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice, on peut transformer A en une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont non nuls.

En reprenant les notations de mon post précédent: B est inversible, d'après l'hypothèse de récurrence. Donc, par opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de B, on peut la transformer en une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont non nuls. En faisant les mêmes opérations sur les lignes et les colonnes de A correspondantes, on obtiendra une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont non nuls ...

Posté par
lyon90re : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 02-03-09 à 21:38

Oui j'ai bien ce théorème, je comprend bien ce que vous voulez dire mais comment pourrais je dire que la matrice que l'on va avoir en B après les opérations sur les lignes a bien des coefficients impairs sur la diagonale et pair sur le reste ? C'est ça que je ne vois pas trop.

Par contre, pour la famille libre je ne vois vraiment pas comment je dois faire... Je suis vraiment désolé...

Merci encore

Bonne soirée !

Posté par
lyon90re : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 03-03-09 à 18:25

Je me permets de me faire un petit up, parceque j'aimerais bien comprendre pourquoi les coefficients se retrouvent impairs sur la diagonales dans la matrice B après les opérations de calculs...

Merci encore

Bonne journée

Posté par
jandri Correcteurre : Matrice avec coefficients pairs et impairs. 03-03-09 à 18:43

Bonjour lyon90,

Il me semble que perroquet t'a bien expliqué.
L'opération L_i\leftarrow a_{1,1}L_i-a_{i,1}L_1 sur la matrice A ne change pas la parité des coefficients de la ligne i car a_{1,1} est impair alors que les a_{i,1} sont pairs.


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