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Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes

Posté par
misil80 30-09-08 à 17:45

Bonjour,

J'ai un exercice sur les matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes.

1/ Il faut que je montre qu'il existe (a_0, a_1, ..., a_n)\in \mathbb{C}^{n+1} tel que :

\forall \lambda \in \mathbb{C} det (A-\lambda I_n) = a_n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + a_1\lambda + a_0

Déterminer a_n et a_0.

2/ La matrice est inversible si et seulement si a_0 \neq 0. Déterminer dans ce cas det (A^{-1}-\lambda I_n).
(\lambda \neq 0, A^{-1} - \lambda I_n = - \lambda A^{-1} (A- {1}\div{\lambda} I_n)).



Je n'ai aucune idée de comment débuter cet exercice. Pourriez-vous m'aider à le commencer.

Cordialement,
Misil80

Posté par
apaugamre : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 30-09-08 à 18:47

developper le determinant par rapport successivement à la première colonne
on ne fait que des additions ou des multiplications donc on obtient un polynomes en les coeff de la matrice
il suffit de regarder le degré de ce polynôme en \lambda

pour a0 si on fait \lambda=0 quel determinant retrouve-t-on ?

pour an qd on developpe le det comment obtient-on un terme de degré n

faire eventuellement n=2, 3, ... pour comprendre

Posté par
misil80re : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 30-09-08 à 19:01

En fait ce que je ne comprends pas c'est comment on peut intégrer les coefficients a_0, a_1, ..., a_n.

Sinon pour le déterminant je dirais qu'il vaut :

a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda ^{n-1} + ... + a_1 \lambda + a_0

Mais je ne montre rien.

Il faut bien que je prenne A = b11   b12    ...       b1n
                               b21   b22               .
                                .                      .
                                .                      .
                               bn1          ...       bnn

Posté par
misil80re : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 30-09-08 à 19:05

Sinon, pour le déterminant si on fait \lambda = 0 on doit retrouver le déterminant de A.

Pour an quand on développe le déterminant on obtient un terme de degré n en multipliant n * \lambda par lui-même.

Posté par
apaugamre : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 30-09-08 à 21:02

pour multiplier n * \lambda par lui-même on doit utiliser tous les termes diagonaux
cela donne \lambda(-1)^n\lambda^n

les autres ai , on ne demande pas de les expliciter

Posté par
misil80re : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 10:48

Je vous remercie.
En fait :
-a_0 vaut le ^n_{i=0}a_{ii}


-a_n vaut (-1)^n

Posté par
apaugamre : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 13:00

non a0 c'est la valeur du polynome pour \lambda=0

Posté par
apaugamre : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 13:02

C'est des affirmations qu'il vaut mieux prouver proprement par recurrence

Posté par
misil80re : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 14:31

Justement, si \lambda = 0 alors :

a_0 = \prod_{i=1}^{n}a_{ii}

puisque le polynôme vaut :
\\ P(\lambda) = (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)...(a_{nn}-\lambda)

Sinon c'est que je n'ai rien compris.

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 14:37

Bonjour

det(A-I) est un polynôme de degré n en . Comme tout polynôme de degré n il s'écrit comme somme de monômes.

Si tu fais =0, il te reste det(A-0.I)=det(A).

Enfin, si tu regardes la matrice A-I tu vois qu'en calculant son déterminant le seul endroit où peut apparaitre un n se trouve dans le produit des termes diagonaux, donc le coefficient de n et (-1)n

Posté par
misil80re : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 14:39

Je me suis trompé tout à l'heure ce n'est pas i = 0 à n, mais i = 1 à n, puisque les coefficients de la matrice commence par a_{11}.

Posté par
apaugamre : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 14:45

l'erreur d'indices n'était pas le plus grave

j'espere que tu as bien compris que \\ P(\lambda) \neq (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)...(a_{nn}-\lambda)

l'explication de camelia étant tres claire

Posté par
misil80re : Matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes 02-10-08 à 14:51

Oui je viens de refaire le calcul, j'ai oublié qu'il fallait développé le calcul selon une ligne (ou une colonne) entière.

Merci de votre aide.


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