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Matrice d'une appli linéaire

Posté par
Pollux314 15-11-09 à 14:38

Bonjour,
je suis en train de faire un exo où je bloque, vous pourriez peut-être m'aider à trouver une piste...

ENONCE:
\mathbb{R}^3est muni de la base cannonique {e1, e2, e3}.

QUESTIONS:
1) Montrer que les vecteurs suivant forment une base cannonique:
u=\left( \begin{array}{c} 1\\0\\1 \end{array} \right) ; v=\left( \begin{array}{c} -1\\1\\0 \end{array} \right) ;w=\left( \begin{array}{c} 2\\1\\1 \end{array} \right)

Là, j'ai répondu qu'aucun de ces vecteurs n'est une combinaison linéaire des autres. Il s'agit donc d'une famille libre. De plus, tout vecteur \left( \begin{array}{c} a\\b\\c \end{array} \right) de \mathbb{R}^3 peuvent s'écrire:
\alpha=a\left( \begin{array}{c} 1\\0\\1 \end{array} \right)+b\left( \begin{array}{c} -1\\1\\0 \end{array} \right)+c\left( \begin{array}{c} 2\\1\\1 \end{array} \right)

C'est donc bien une famille libre génératrice dans \mathbb{R}^3.

2) Et là, les soucis commencent
\mathbb{R}^4 est muni de la base cannonique. On définit f l'application linéaire de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R}^4 par:
f(u)=\left( \begin{array}{c} 1\\1\\1\\0 \end{array} \right) ; f(v)=\left( \begin{array}{c} -1\\-1\\-1\\0 \end{array} \right) ;f(w)=\left( \begin{array}{c} 0\\1\\-1\\-1 \end{array} \right)

a) déterminer la matrice A représentant f lorsque \mathbb{R}^3 est muni de la base {u, v, w}.
b) déterminer la matrice A' représentant f lorsque \mathbb{R}^3 est muni de la base cannonique.

Pour la a), j'ai répondu: A=\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&0\\1&-1&1\\1&-1&-1\\0&0&-1 \end{array} \right) mais pour le b), je vois pas comment faire. Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci

Posté par
veledare : Matrice d'une appli linéaire 15-11-09 à 15:09

bonjour,
*d'abord une petite remarque u,v,w forment une famille libre dans R3 donc c'est une base de R3,tu n'as pas à dire       et elle est génératrice(ce que tu n'as pas prouvé du reste)
**tu as du étudier les matrices de changement de base?

Posté par
gbm Webmasterre : Matrice d'une appli linéaire 15-11-09 à 15:12

Salut,

1. Tu peux aussi calculer le déterminant : det(u,v,w)
s'il est non nul, la famille et libre et en dimension 3 c'est une base.

2. a) Oui c'est ça.

Tu as les coordonnées des vecteurs de la base, tu connais donc une matrice de passage P.

La base canonique est
e1 (1;0;0)
e2 (0:1:0)
e3 (0;0;1)

Il faut donc utiliser la formule de passage

B = PAP-1

sauf erreur

Posté par
Pollux314re : Matrice d'une appli linéaire 15-11-09 à 19:36

En fait, les matrices de passage, les déterminants, c'est le chapitre suivant, on est pas sensé l'avoir vu. On est donc sensé faire sans ! C'est ce que je vois pas comment. Auriez-vous une piste svp ?

Merci

Posté par
Pollux314re : Matrice d'une appli linéaire 15-11-09 à 19:39

Au fait, comment sais tu que la base cannoniques, c'est ce que tu annonces ? J'ai pas vu ça dans mes cours ? C'est tout le temps ça j'imagine, tu fais ressortir chaque variables les unes après les autres dans les vecteurs !?

Merci encore

Posté par
veledare : Matrice d'une appli linéaire 15-11-09 à 21:31

bonsoir,
il suffit que tu calcules les images des vecteurs de la base (e_1,e_2,e_3)
on a
f(u)=f(e_1)+f(e_3)(1)
f(v)=-f(e_1)+f(e_2)(2)
f(w)=2f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)(3)
tu as un système de 3 équations te permettant de calculerf(e_1),f(e_2)f(e_3)en fonction de f(u),f(v),f(w) donc en fonction des vecteurs de base de R4 et tu en déduis la matrice demandée

Posté par
Pollux314re : Matrice d'une appli linéaire 15-11-09 à 22:39

Je comprends pas, si je sors tout ça:

f(e1) = f(e3)-u
f(e2) = f(e1)+v
f(e3) = w-2f(e1)-f(e2)

Et alors, je vois tjs pas ?

Merci

Posté par
veledare : Matrice d'une appli linéaire 15-11-09 à 22:55

tu fais (3)-(1)-(2) cela donne
2f(e_1)=f(w)-f(u)-f(v)=>f(e_1)=...
(2)=>f(e_2)=f(v)+f(e_1)=f(v)+\frac{f(w)-f(u)-f(v)}{2}
(3)=>f(e_3)=f(u)-f(e_1)=..
dans la matrice cherchée la colonne correspondant à f(e_1)c'est donc
0
1/2
-1/2
-1/2
sauf erreur de calcul de ma part

Posté par
Pollux314re : Matrice d'une appli linéaire 16-11-09 à 08:57

ok, merci !


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