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Matrice de Gram

Posté par
mellepapillon
12-06-06 à 20:54

Bonsoir,

  Je bloque sur une question avec des matrices de Gram. Voici les hypothèses que j'ai :
  Soient (x_1, x_2, ..., x_p) p vecteurs de E où E est un espace vectoriel euclidien de dimension n \geq 2.
  On appelle matrice de Gram de (x_1, x_2, ..., x_p) notée G(x_1, x_2, ..., x_p) la matrice de M_p(\R) de terme général (x_i|x_j) pour (i,j) \subset [1,p]^2. On notera \Gamma(x_1, x_2, ..., x_p) son déterminant.

  Si B=(e_1, e_2,...,e_n) est une base orthonormale de E et si A \in M_p(\R) dont les colonnes sont les composantes des vecteurs (x_1, x_2, ..., x_p) dans la base B, montrer que G(x_1, x_2, ..., x_p) = ^tA.A

  Je n'arrive pas à conclure. Pour moi, A est la matrice \begin{pmatrix}
 \\ x_1 | e_1 &... & x_p | e_1 \\
 \\  ... & ... & ... \\
 \\ x_1 | e_n &... & x_p | e_n 
 \\ \end{pmatrix}
donc ^tA est la matrice \begin{pmatrix}
 \\ x_1 | e_1 &... & x_p | e_n \\
 \\  ... & ... & ... \\
 \\ x_1 | e_1 &... & x_p | e_n 
 \\ \end{pmatrix}
Or en multipliant, je n'arrive pas à avoir des x_i | x_j comme pour Gram... pourriez-vous s'il vous plaît m'éclairer ?

Merci d'avance,

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 12-06-06 à 21:07

Bonsoir Melle Papillon

Il suffit de faire de repasser par la définition du produit matriciel.
Si l'on note \Large{a_{ij}=(x_{j}|e_{i})} les coefficients de A et \Large{b_{ij}=a_{ji}=(x_{i}|e{j})} ceux de la transposée, que vaut le coefficient\Large{c_{ij}} de \Large{^{t}AA}.

Kaiser

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 12-06-06 à 21:21

Merci beaucoup pour l'aide
C'est ce que j'avais fait, mais peut-on écrire que (x_j | e_k).(x_k | e_j) = x_j | x_k car e_k et e_j sont orthogonaux ? Il reste de plus à dissocier le cas, où k=j...

En attendant une heureuse réponse, je vous souhaite une bonne soirée,

Melle Papillon

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 12-06-06 à 21:23

Au fait, finalement j'ai réussi à trouver pour mon précédent sujet pour les Ker. J'ai même trouvé pour le rang. Merci beaucoup

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 12-06-06 à 21:24

Ah non, ça c'est faux !

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 12-06-06 à 21:24

Citation :
Au fait, finalement j'ai réussi à trouver pour mon précédent sujet pour les Ker. J'ai même trouvé pour le rang. Merci beaucoup


OK !

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 12-06-06 à 21:33

Sinon, pourquoi as-tu besoin de cette formule ?
Quand on fait le produit matriciel, il apparaît plûtot une somme, non ?

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:19

Pour moi ^tA.A = \displaystyle{\sum_{k=1}^p} a_{ik}.b_{kj} = \displaystyle{\sum_{k=1}^p} (x_k | e_i).(x_k | e_j)
Mais après, je suis bloquée...

Merci, à bientôt

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:22

La notation est un peu bizarre : une matrice n'est pas un réel mais bon !
Ensuite, tu t'es trompée.
La somme serait plutôt \Large{\bigsum_{k=1}^{p}b_{ik}a_{kj}}.

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:32

Oui, pardon, je suis deux fois tête en l'air !
Donc, ^tA.A = (c_{ij})c_{ij} = \sum_{k=1}^p (x_i |e_k) . (x_j | e_k)
Et ... ?

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:34

A présent, utilise le fait que \Large{(e_{1},..,e_{p}) est une base orthonormée.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:47

Au fait, je viens de relire l'énoncé. Est-ce que p a un rapport avec n ou alors pas du tout ?

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:48

Pour moi, (x_i | e_k) = \alpha_i, où \alpha_i est l'expression de la composante du vecteur x_i sur e_i dans une base orthonormée. Je ne vois pas la suite...

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:50

Il n'y a pas de rapport entre n et p

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:52

Je me suis trompée dans la somme des c_{ij}, elle va jusqu'à n et non p. Désolée ...

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:53

Mais dans ce cas, c'est louche car dans l'énoncé, je viens de voir écrit que A appartient à \Large{\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})} mais a priori, A appartient à \Large{\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})}.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:55

Citation :
Je me suis trompée dans la somme des c_{ij} , elle va jusqu'à n et non p. Désolée ...


C'est pas grave ! Je ne l'avais pas vu non plus !

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:56

Oui, effectivement j'ai oublié un n, A est bien de taille np.
Je m'excuse, encore une fois.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 17:59

On va y aller par étape.
D'abord, comme tu l'as dit dans ton message de 17h48, on a \Large{x_{i}=\bigsum_{k=1}^{n}(x_{i}|e_{k})e_{k}}.
On a de même \Large{x_{j}=\bigsum_{k=1}^{n}(x_{j}|e_{k})e_{k}}.

Normalement, tu devrais pouvoir conclure.

Kaiser

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 18:32

Dans l'expression de c_ij, à part enlever la somme imbriquée, je ne vois pas ce que ça fait vraiment.
On a :
   x_i = \sum_{l=1}^n (x_i | e_l).e_l.
En remplacant dans c_ij, on a :
   c_ij = \sum_{k=1}^n ((\sum_{l=1}^n (x_i | e_l).e_l) | e_k).(x_j | e_k)

Si l=k, alors e_l | e_k = 1 et on retrouve l'expression de départ.
Sinon, e_l | e_k = 0.

Je ne vois pas... merci d'avance.

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 18:39

Pas besoin de faire ce genre de calcul.
On sait que \Large{x_{i}=\bigsum_{k=1}^{n}(x_{i}|e_{k})e_{k}} et que \Large{x_{j}=\bigsum_{k=1}^{n}(x_{j}|e_{k})e_{k}}, donc que vaut \Large{\bigsum_{k=1}^{n}(x_{i}|e_{k})(x_{j}|e_{k})} ? (sans calcul).

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 18:45

Je crois que c'est ça qui m'échappe. Ca doit être évident et je suis enfermée dans mon raisonnement avec mes scalaires.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Matrice de Gram 13-06-06 à 18:48

On va reprendre en regardant plus haut !
Normalement, d'après l'énoncé, que doit-on trouver ?

Posté par
mellepapillon
re : Matrice de Gram 14-06-06 à 15:40

Bonjour,

J'ai finalement trouvé pour Gram, la nuit porte conseil
Merci pour vos indices !
Par contre, j'ai aussi trouvé que mon idée pour les rangs était fausse... (celle de mon ancien message sur le forum).

J'ai montré que Ker (^tA.A) \subset Ker(A). Comment puis-je en déduire que rang (^tA.A) = rang(A) ?

Merci pour votre aide,

Melle Papillon

Posté par
Cauchy
re : Matrice de Gram 14-06-06 à 15:49

Bonjour kaiser et mellepapillon ,

tu peux utiliser que Ker A inclus dans Ker tA.A puis le theoreme du rang.

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