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Matrice de rang 1 diagonalisable
Bonjour.
Voici un exercice pour lequel je n'arrive pas à entrevoir le début d'une démonstration:
Montrer qu'une matrice de rang 1 dans Mn(R) est diagonalisable si et seulement si sa trace est nulle.
Je ne vois pas en quoi le fait la trace de la matrice soit nulle implique qu'elle est forcément diagonalisable... et réciproquement!
Le seul fait que les colonnes de la matrice forment des vecteurs linéairement dépendants n'implique-t-il pas que la matrice est diagonalisable?
Merci d'avance à ceux qui accepteront de m'aider.
Salut!
D'accord, il y a peut-être une erreur dans le sujet...
C'est faux, ta matrice M de rang 1 est diagonalisable si et ssi sa trace est non nulle !
Mais la question reste la même
, pourquoi?Bah du coup maintenant tu peux y réfléchir de nouveau avec l'énoncé correct ! 
Utilise le théorème du rang par exemple.
Désolé, mais je ne vois toujours pas!
Pour une matrice M (de Mn et de rang 1, pour coller à l'énoncé, hein), le théorème du rang nous dit:
rg(M) + dim(KerM) = n
d'où:
dim(KerM) = n - rg(M) = n-1
J'ai envie de dire... Et alors? (ouais, je sais, j'abuse 
)
Alors 0 est valeur propre de M d'ordre au moins n-1, comme la trace est aussi la somme des valeurs propres, tu en déduis que les seules valeurs propres de M sont 0 et tr(M).
Si tr(M) est nulle son spectre est réduit à {0} dont ta matrice n'est pas diagonalisable.
Si tr(M) est non nulle, regarde la dimension du sous-espace propre associé.
Je suis complètement largué, c'est officiel.
> Qu'est-ce que l'ordre d'une valeur propre? Est-ce de l'ordre de multiplicité dont tu parles?
> Pourquoi est-ce que si 0 est d'ordre au moins n-1, alors les seules valeurs propres de M sont 0 et tr(M)?
> Si j'admets que c'est le cas, et si la trace de M est nulle, alors l'ensemble des valeurs propres est réduit à {0}, ça d'accord. Mais pourquoi M n'est dès lors pas diagonalisable?
> Pour le reste je suis tout aussi perdu...
Les mathématiques, ça n'est pas mon domaine (et ça se voit), alors mes excuses si mes questions paraissent idiotes!
Mais en tout cas, merci pour votre aide. 
L'ordre d'un valeur propre c'est sa multiplicité.
Ensuite si la matrice est de rang 1 elle a un noyau de dimension n-1. Ecris sa matrice dans une base adaptée.
Pour prouver que M de rang 1 n'est pas diagonalisable si sa trace est nulle, c'est OK.
Mais prouver que si ça trace n'est pas nulle, alors M est diagonalisable, je n'y parviens pas.
J'ai reçu de la part du professeur qui m'a soumis cet exercice ces indications:
il me faut trouver un polynôme annulateur scindé à racine simple, donc du style
P(X)=(X-M0)...(X-Mk), avec les Mi distincts, qui prouve à lui seul (puisqu'il est scindé à racines simple) que M est diagonalisable...
Comment m'y prendre
?
Merci d'avance pour vos réponses.
Salut
On a dit que si la trace était non nulle, le spectre de M était {0,tr(M)}.
On a montré que la dimension du sous espace propre de M associé à 0 était n-1 (théorème du rang).
On en déduit que .
M est diagonalisable et semblable à :
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