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matrice de Sylvester et résultant
Bonjour,
en cours (M1, UE calcul algébrique), on a vu la matrice de sylvester pour des polynômes à une variable. On a également vu que deux polynômes (à une variable) ont un facteur irréductible commun si et seulement si le résultant des deux polynômes est nul.
Peut-on (et si oui,comment) étendre ce résultat à des polynômes de deux variables?
Par exemple, si je cherche à montrer que f(X,Y)=XY-1 et g(X,Y)=X²+Y²-4 sont premiers entre eux sur 
[X,Y], en utilisant cela comment faire?comment déterminer la matrice de sylvester?
Merci de votre aide.
Bonjour,
une possibilité est de voir Q[X,Y] comme Q[X][Y] et de faire le résultant en Y de tes deux polynômes.
bonsoir Cauchy, merci de m'accorder quelques instants.
Alors suivant tes conseils, on a donc(dans le cadre de mon exemple):
Rés(f,g)==X²(X²-4)+1=X^4-4X²+1
Et alors là? je dois savoir si ça s'annule ou pas pour des valeurs de X?
Si tes polynômes étaient pas premiers entre eux ils auraient un facteur commun donc une infinité de racines en commun dans C(en effet un polynome de 2 variables non constant a toujours une infinité de racines).
La t'as un nombre fini de possibiltés pour X(pour que (x,y) soit racine commune de f et g) , on pourrait regarder ce que ca donne comme solutions en (X,Y).
Cependant une équation de degré 4 c'est fastidieux en général, la c'est une équation bicarrée c'est facile d'avoir explicitement les racines, et tu vois bien vu que xy-1=0 qu'alors y=1/x donc ca donnera 4 couples solutions pour l'intersection donc les polynômes sont premiers entre eux.
On pouvait le voir à la main sans résultant si xy-1=0 alors y=1/x donc on doit avoir x^2+1/x²-1=0 soit x^4-4x²+1=0(on a éliminé y à la main).
Pour dire s'ils sont premiers entre eux on aurait pu le faire à la main aussi en regardant le degré possible d'un facteur ici il y a pas beaucoup de choix.
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