Bonsoir à tous , observez cette matrice :
0 0 -1
1 0 0
0 1 0
Son polynome caractéristique est -x³-1 , elle n'est pas diagonalisable dans R mais dans C car ses 3 racines sont -1 , j = -e^2ipi/3 et -j² . ( inutile de vérifier c'est bon ) .
Alors l'ordre de multiplicité de ces 3 racines c'est 1. ma première question est : le sous espace propre correspondant à chaque valeur propre , a t'il obligatoirement une dimension égale à la multiplicité de chaque valeur propre ?
OUI ou NON ?
je vous remercie .
bonjour,
les valeurs propres sont bien -1,-j,-j² (tu as une petite faute de frappe)
la dimension d'un s-espace propre est inférieure ou égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante et au moins égale à 1
donc dans le cas de ton exercice les sous espaces sont trois droites vectorielles
Bonjour
en fait à quelles conditions strictes sur les racines la matrice est diagonalisable ?
et également dans quelle condition peut on se permettre de donner une matrice diagonale équivalente uniquement composée des valeurs propres sur sa diagonale ?
pour que la matrice soit diagonalisable il faut et il suffit que pour chaque valeur propre la dimension du sous espace correspondant soit égale à l'ordre de multiplicité de
* La matrice est diagonalisable si et seulement si le sous espace propre correspondant à chaque valeur propre a une dimension égale à la multiplicité de chaque valeur propre.
Cette condition est réalisée dans le cas (comme ici) où, dans un espace de dimension n, les n valeurs propres sont toutes différentes. C'est une condition suffisante (qu'on utilise fréquemment), mais pas nécessaire (l'identité n'a que 1 comme valeur propre, d'ordre n).
*
d'accord c'est clair mais alors prenez la matrice que j'ai donné au 1er message , dans la correction il est dit :
le polynome caractéristique de M est scindé et a 3 racines simples distinctes , pour chacune de multiplicité 1 est égale à la dimension 1 de l'espace propre correspondant .
et dans la question d'énoncé il était dit : Indiquez une matrice semblable diagonale ( on ne demande pas le calcul des espaces propres ) .
Comment ont ils fait pour deviner que la multiplicité des racines etait égale à la dimension des sous espaces propres puisqu'ils ne les ont pas calculé ?
merci
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