Bonjour

je dois montrer que si A M_n(R) et vérifie A³ = A + I_n, elle est diagonalisable dans M_n (C). Puis je dois en déduire que det (A)>0

Pour ça j'appelle P(X) =  X³ - X - 1

                   P'(X) = 3X² - 1

racines de P' : +1/3 et -1/3

Je fais le tableau de variation de P et constate que P admet un zéro réel et un seul que je note x_o   x_o>1/3 x_o>0

Je note w₁ l'ordre de multiplicité de la valeur propre x_o de A, w₂ celui de z₀ (w₂ N), celui de conjugué de ₀ étant aussi w₂.

C'est à partir de là que j'hésite.. ce que je pense devoir faire c'est introduire une matrice D définie par

D = diag(x_o,.....,x_o,z_o,....., z_o,conjugué de z_o,.....,conjugué de z_o)

à partir de là comment je peux en déduire que A est diagonalisable ?