Salut

Si une matrice est diagonalisable, alors elle est trigonalisable.

La réciproque est fausse !

Si c'était le cas, on n'aurait pas défini deux notions ...

C'est faux, il suffit de regarder une matrice triangulaire stricte par exemple. Il est clair qu'une matrice ayant 0 comme seule valeur propre n'est diagonalisable que si et seulement si elle est nulle.

Or une matrice triangulaire ayant que des 0 sur la diagonale n'a que 0 comme valeur propre ...