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matrice et application linéaire
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : On considère l'espace vectoriel R³ muni de sa base canonique C = {e1,e2,e3} et on note f l'endomorphisme de R³ défini par :
f(e1) = e1 + e2 + 2e3
f(e2) = e1 + 2e2 + 3e3
f(e3) = 3e1 + 6e2 + 9e3
1) écrire la matrice M de f dans la base canonique C .
Je réponds :
1 1 3
1 2 6
2 3 9
2) calculer le rang de la matrice M et en déduire la dimension du noyau de f .
Alors d'après tig , le rang d'une matrice c'est le nombre de vecteurs libres qu'engendrent l'application linéaire , donc ici vu que les vecteurs colonnes 2 et 3 sont colinéaires , j'en vire 1 , et je trouve une matrice 2*2 qui a un déterminant non nul , ce qui me laisse à penser que le rang de cette matrice est 2
D'après le théorème de rang , je pense que la dimension du noyau de f est 1 .
3) Donner une base de l'image de l'application f .
Alors en fait l'image ici ce sont juste les 2 1ers vecteurs colonnes , ils sont libres donc ils forment une base .
4)Trouver une condition pour que le vecteur (x,y,z) de R³ soit dans le noyau de f . Donner une base du noyau de f .
Une condition , alors là j'en sais bigrement rien , je dirai par exemple que y = -3z , et pour la base j'ai résolu ce système :
x + y + 3z = 0
y + 3z = 0
je fixe y = 1 , donc z = -1/3 et x = 0 , j'en déduis que la droite vectorielle engendrée par le vecteur (0,1,-1/3) est une base de ker f .
En étant sévère , que pensez vous de mes résultats ?
merci .
Re 
Ta matrice est bonne et ton rang aussi. Ta base de l'image aussi.
Pour le noyau, il suffit de revenir à la définition? Qu'est-ce que le noyau?
un noyau est l'ensemble des vecteurs dont l'image par f est nulle...et alors je me suis plantée pour le noyau ?
tout simplement avec gauss, , j'ai appliqué gauss sur la matrice 3*3 de l'application , tu tombes forcément sur une équation y = -3z ...
Tu as mélangé un peu.
Pour qu'un vecteur soit dans le kernel il faut que
La 2 premières engendrent la 3ème, on se réduit donc à
Voila qui répond à la première partie.
Pour la deuxième :
La première ligne donnc x=-y-3z
en reportant dans la deuxième on a y+3z=0
ie y=-3z
Si (x,y,z) est dans le noyau il peut s'écrire sous la forme y(...,...,...)+z(...,...,...)
essaye de trouver ces vecteurs.
ma foie je comprends pas du tout pq mon résultat est faux...
je prends le tiens et je trouve y(-1,1,-3)...
mon résultat n'est pas juste puisque d'un coté je trouve :
(0,1 -1/3) et de l'autre (-,1,1,-3) avec ta méthode , ils sont pas colinéaires , donc yen a un qui est faux qu'en penses tu ?
avec ma méthode on trouve bien (0,1,-1/3) !
En effet : on a x=-y-3z et y=-3z
donc x=0 et y=-3z
d'où (x,y,z)=y(0,1,-1/3)
j'ai marqué (-1,1,-3) et tu n'as rien dit donc j'en déduis qu'il est bon , non ? alors qu'il est pas colinéaire avec le 1er..
ah d'accord , et bien merci pour tout ça fait plaisir pour une fois que je me plante pas , merci night
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