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Matrice et application (Oral ESCP)

Posté par
solaris 18-05-08 à 16:39

Bonjour,

je ne vois pas bien comment montrer ce qui m'est demandé, si quelqu'un a une idée....


Soit C dans Mn(R) et fc l'application définie sur Mn(R) par

pour tout X de Mn(R), fc(X)= XC

a) J'ai montrer que si C est nilpotente fc l'est tout autant.

b) calculer la trace de fc (on pourra commencer par calculer fc(Ei,j) )

        là je ne vois pas trop

c) montrer que fc est un automorphisme de Mn(R) si et seulement si C est inversible.

        là non plus ne vois pas


Merci d'avance

Posté par
infophilere : Matrice et application (Oral ESCP) 18-05-08 à 17:15

Bonsoir

c) Soit 3$ \rm A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) quelconque, 3$ \rm f_c est un automorphisme si et seulement si il existe unique matrice 3$ \rm B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) tell que 3$ \rm f_c(B)=A\Longleftright BC=A\Longleftright B=AC^{-1} donc si et seulement si 3$ \rm C est inversible.

Posté par
soucoure : Matrice et application (Oral ESCP) 18-05-08 à 17:19

Salut,

Pour la b) la trace est indépendante de la base, autant le faire avec la base canonique.

4$\displaystyle\text{tr}(f_c)=\text{tr}(\text{mat}_{(E_{ii},i\in[\![1,n]\!])}(f_c))=\sum_{i=0}^nf_c(E_{ii})=\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^n\delta_{ik}c_{kj}=\sum_{k=0}^nm_{kk}=\text{tr}(C)

où \delta est le symbole de Kronecker.

Pour la c) la réciproque est évidente avec le noyau de f_c. Pour l'implication, peut être en utilisant la nilpotence éventuelle.

J'y réfléchi encore.

Posté par
perroquetre : Matrice et application (Oral ESCP) 18-05-08 à 17:22

Bonjour à tous.

> soucou

Il y a une erreur dans ton calcul. La base canonique de M_n(R) n'est pas  E_{i,i}, mais (E_{i,j}): dans cette base, il y a n² vecteurs

Posté par
infophilere : Matrice et application (Oral ESCP) 18-05-08 à 17:24

Bonjour

Posté par
soucoure : Matrice et application (Oral ESCP) 18-05-08 à 17:24

Oups, je suis allé un peu vite.

Un peu moins (mais je crois qu'il reste un ptit pb) :

4$\displaystyle\text{tr}(f_c)=\text{tr}(\text{mat}_{(E_{ii},i\in[\![1,n]\!])}(f_c))=\text{tr}(\sum_{i=0}^nf_c(E_{ii}))=\text{tr}((\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^n\delta_{ik}c_{kj})_{(i,j)\in([\![1,n]\!])^2})=\sum_{k=0}^nm_{kk}=\text{tr}(C)

Posté par
soucoure : Matrice et application (Oral ESCP) 18-05-08 à 17:26

Perroquet, bien vu !

Posté par
solarisre : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 18:49

Bonsoir, merci pour votre réponse, mais qu'est-ce que le symbole de Kronecker ? je n'ai jamais vu cela.

Posté par
gui_toure : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:14

Bonjour

3$\rm\delta_{ij}=\{1 si i=j\\0 sinon

Posté par
fusionfroidere : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:19

Tu reviens de la mines, gui_tou ?

Posté par
infophilere : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:26

Alors guigui ?

Posté par
gui_toure : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:28

Vi ^^

Premier problème : Etude d'un polynôme : Algèbre/équa diff/courbes
Etude problème : Etude des zéros de F(x)= sin(x)/x / intégrales

Je l'ai trouvé plutôt faisable..
Ca vaut la peine d'ouvrir un topic pour ça tu crois ?

Posté par
infophilere : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:29

Si t'as les sujets oui

Posté par
fusionfroidere : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:29

Citation :
Ca vaut la peine d'ouvrir un topic pour ça tu crois ?


Ca serait sympa, non ? En plus si des personnes pouvaient scanner les sujets, ça serait top

Posté par
gui_toure : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:30

Jte laisse l'honneur de l'ouvrir alors

Au pire je peux latexifier un problème (ah bon demain aussi y a une épreuve ? )

Posté par
infophilere : Matrice et application (Oral ESCP) 19-05-08 à 19:31

J'vais pas l'ouvrir j'ai pas passé l'épreuve lol


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